gebrochen-rationale Funktion

Question

Gegeben ist die gebrochen-rationale Funktion mit der Gleichung f(x)= x²-2x+1 : 2-x

4.1 Bestimmen sie : - den maximalen Definitionsbereich, die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, die erste und zweite Ableitung,die koordinalten der Hoch-und Tiefpunkte,die art der Definitionslücke und das verhalten an ihr !

4.2 Ermittleln Sie die Gleichung der Asymptote und bestimmen Sie mit dieser das das Verhalten der Funktion im Unendlichen.

4.3 Skizzieren Sie den Graph der Funktion und die Asymptote in dasselbe Koordinatensystem.

Vielen Dank für ihre Hilfe

Answer 1

f(x)= x²-2x+1 : 2-x

Soll sicher so lauten

f ( x ) = ( x^2 - 2 * x + 1 ) / ( 2  -x )

4.1 Bestimmen sie : - den maximalen Definitionsbereich, die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, die erste und zweite Ableitung,die koordinalten der Hoch-und Tiefpunkte,die art der Definitionslücke und das verhalten an ihr !

D = ℝ \ { 2 }

f ( 0 ) = 1 / 2

( x^2 - 2 * x + 1 ) / ( 2  -x ) = 0
x^2 - 2 * x + 1 = 0
( x - 1 )^2 = 0
x = 1

f ´( x ) = ( -x^2 + 4*x + 3 ) / ( x -2 )^2
f ´´ ( x ) = -2 / ( x-2 )^3

f ´( x ) = ( -x^2 + 4*x + 3 ) / ( x -2 )^2 = 0
( -x^2 + 4*x + 3 ) = 0
x = 1
und
x = 3

f ´´ ( 1 ) = -2 / ( 1-2 )^3 = 2 ( Tiefpunkt )
f ´´ ( 3 ) = -2 / ( 3-2 )^3 = -2 ( Tiefpunkt )

lim x −> 2(-)  [  ( x^2 - 2 * x + 1 ) / ( 2  -x ) ] = 1 / 0(+) = + ∞
lim x −> 2(+)  [  ( x^2 - 2 * x + 1 ) / ( 2  -x ) ] = 1 / 0(-) = - ∞

4.2 Ermittleln Sie die Gleichung der Asymptote und  bestimmen

Sie mit dieser das das Verhalten der Funktion im Unendlichen.

Polynomdivision durchführen
( x^2 - 2 * x + 1 ) / ( 2  -x ) = -x + 1 / ( 2 - x )
Asi : y ( x ) = - x
y ( ∞ ) = - ∞
y ( -∞ ) = + ∞

4.3 Skizzieren Sie den Graph der Funktion und die
Asymptote in dasselbe Koordinatensystem.

~plot~ ( x^2 - 2 * x + 1 ) / ( 2  -x ) ;-x ;  [[ -25 | 25 | -15 | 15 ]] ~plot~

Comments

Alles richtig, außer dass an der Stelle x=3 ein Hochpunkt und kein Tiefpunkt ist. Da der Wert der zweiten Ableitung dort auch negativ ist, ist es vermutlich nur ein Rechtschreibfehler.

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Danke Yukawah.

Anstelle
f ´´ ( 3 ) = -2 / ( 3-2 )³ = -2 ( Tiefpunkt )
muß es heißen
f ´´ ( 3 ) = -2 / ( 3-2 )³ = -2 ( Hochpunkt )

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danke schön . das ist sehr hilfreich

aber ich bekomme für die erste Ableitung (-x²+4x-3)/(2-x)²

ich habe schon zwei mal gerechnet ,aber das ist gleich.

könnten Sie bitte erklären.

Danke

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Deine erste Ableitung ist richtig. In der Ableitung von georgborn hat sich ein falsches Vorzeichen im Zähler vor der "3" eingeschlichen.

Nichtsdestotrotz sind die Ergebnisse richtig.

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Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

f ( x ) = ( x² - 2 * x + 1 ) / ( 2  -x )
Quotientenregel
f ´( x ) =  [  ( 2 *x - 2 ) * ( 2 - x )  - ( x^2 - 2 * x + 1 ) * ( -1 ) ] / ( 2 -x )^2
f ´( x ) =  [ ( 4 *x - 4 - 2 * x^2 + 2 * x   + x^2 - 2 * x + 1  ] / ( 2 -x )^2
f ´( x ) = ( - x^2 + 4 * x - 3 ) / ( 2 - x )^2
Stimmt es muß -3 heißen.

Die Ergebnisse stimmen aber alle.