Rekonstruktion von Funktionen

Question

Bestimmen sie die Funktion mit Hilfe von Gleichungssystemen.

a) Grad 2, Extremum bei x=1, Achsenschnittpunkte bei P(0|-3) und Q(5|0)

b) Grad 4, Sattelpunkt im Ursprung, Tiefpunkt P(-2|-6)

Answer 1

a) Grad 2, Extremum bei x=1, Achsenschnittpunkte bei P(0|-3) und Q(5|0)

Weil Extremum immer genau zwischen den beiden Nullstellen ==> zweite Nullstelle bei x = 1-4 = -3.

Daher Ansatz:

y = a(x+3)(x-5)

Nun noch P einsetzen und a bestimmen. 

-3 = a(3)(-5)

-3/((3*(-5)) = a

1/5 = a

y = 1/5 (x+3)(x-5) = 1/5 (x^2 - 2x - 15) = 1/5 x^2 -2/5 x - 3

Kontrolle:

 ~plot~ 1/5 (x+3)(x-5); 1/5 x^2 -2/5 x - 3 ~plot~

b) Grad 4, Sattelpunkt im Ursprung, Tiefpunkt P(-2|-6) 

Wegen Sattelpunkt ist x=0 eine (mindestens) dreifache Nullstelle. Daher Ansatz:

y = x^3(ax + b) = ax^4 + bx^3 

Nun mit Hilfe von "Tiefpunkt P(-2|-6)" 2 Gleichungen aufstellen, mit denen du a und b bestimmen kannst.

Comments

Ich verstehe nicht wie du auf die Gleichung kommst

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Du weisst, was ein Sattelpunkt und was ein Ursprung ist?

https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatensystem#Koordinatenursprung.2C_Pol

https://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunkt

Answer 2

Aufgabe b.) konventioneller gerechnet

Grad 4, Sattelpunkt im Ursprung, Tiefpunkt P(-2|-6) 

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x + e
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d
f ´´ ( x ) = 12 * a * x^2 + 6 * b * x + 2 * c

Sattelpunkt im Ursprung, 
( 0  | 0 )
e entfällt

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d
f ´´ ( x ) = 12 * a * x^2 + 6 * b * x + 2 * c

f ´( 0 ) = 0  => d = 0
f ´´( 0 ) = 0 => c = 0

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2
f ´´ ( x ) = 12 * a * x^2 + 6 * b * x

Tiefpunkt P(-2|-6) 
f ( -2 ) = -6
f ´ ( -2 ) = 0

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

Geht gleich weiter.

Comments

f ( x ) = 1.125 * x^4 + 3*x^3