Bestimmen Sie die Potenzreihe zur erzeugenden Funktion x^2 / (1-x)

Question

kann mir Jemand erklären wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss? dann könnte ich noch ein paar andere aufgaben selber machen... 

Vielen dank

Answer 1

Ich gehe davon aus, das die Potenzreihe um \( x = 0 \) entwicklet werden soll. dazu musst Du die n-ten Ableitungen der Funktion $$ f(x) = \frac{x^2}{1-x} $$ bilden und an der Stelle \( x = 0 \) auswerten. Dann setzt Du alles in die Taylorreihe ein. Das Ergebnis sollte sein

$$ f(x) = \sum_{k=2}^\infty x^k $$

Comments

Was ist dann der Konvergenzradius davon ?

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Wie ist denn der Konvergenzradius definiert. Du kannst das Quotienten- oder Wurzelkriterium nehmen. Beides ergibt \( r = 1 \)

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Danke. X^k/X^k+1  und wie mache ich weiter ?

Answer 2

Statt umständlich die Ableitungen zu bestimmen, kann man auch einfach die Potenzreihe von \(\frac{1}{1-x}\) (sollte bekannt sein) mit \(x^2\) multiplizieren:
\(\frac{x^2}{1-x}=x^2\cdot \frac{1}{1-x}=x^2\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+2}=\sum\limits_{n=2}^\infty x^{n}\) für \(|x|<1\)

Comments

Ok danke aber wie bestimme ich den konvergenzradius?

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Ist der Konvergenzradius der geometrischen Reihe noch nicht bekannt?

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Nein leider

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Und wie habt ihr bis jetzt den Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnet?

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r= a_k/a_k+1 

Aber was ist hier a_k  

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Da gehört noch \(\lim\limits_{k\to\infty}\) hin.

Eine allgemeine Potenzreihe hat die Form \(\sum\limits_{k=0}^\infty a_k x^k\). Wir haben \(\sum\limits_{k=2}^\infty x^k\). Was wird dann wohl das \(a_k\) sein?

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Alles klar danke

Schreibe ich da dann lim=1

                                  

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Nein, sondern \(\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=1\).