Potenzreihe zur erzeugenden Funktion (1+x) / (1-x)^2

Question

Bestimmen Sie die Potenzreihe zur erzeugenden Funktion \( \frac{1+x}{(1-x)^{2}} \)

Answer 1

Bekanntlich existiert für  -1 < x < 1  die geometrische Reihe

\( \frac{1}{1-x}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} x^{k} \)

Ableiten liefert:

(1) \( \frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot x^{k-1}=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(k+1) \cdot x^{k} \)

Multiplikation mit \( x \) ergibt:

(2) \( \frac{x}{(1-x)^{2}}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot x^{k} \)

Addiere (1) und (2):

\( \frac{1+x}{(1-x)^{2}}=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(k+1) \cdot x^{k}+\sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot x^{k}=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(2 k+1) \cdot x^{k} \)

Answer 2

Es gibt wahrscheinlich mehrere Möglichkeiten dies zu realisieren. Man könnte es z.B. mit der Maclaurin-Reihe probieren:

\( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} x^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{6} x^{3}+\ldots \)

Wobei \( n !=1 * 2 * 3 * 4 * \ldots * n \) die Fakultät n ist.

Und \( f^{(n)}(x) \) die n-te Ableitung.

Wenn du nun \( \frac{1+x}{(1-x)^{2}} \) mehrmals ableitest wirst du irgendwann feststellen, dass du die n-te Ableitung relativ leicht findest:

\( f^{(n)}(x)=(-1)^{n} \frac{n !(x+1+2 n)}{(x-1)^{2+n}} \)

Für x=0 ergibt sich dann:

\( f^{(n)}(0)=n !(1+2 n) \)

Und schon hast du die Potenzreihe:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty}(1+2 n) x^{n}=1+3 x+5 x^{2}+7 x^{3}+\ldots \)

Vermutlich wird dich dann noch interessieren, wie der Konvergenzradius lautet. Dieser gibt an, für wie weit weg von der Entwicklungsstelle (der ist bei der Maclaurin-Reihe hier 0) die Potenzreihe konvergiert. Da wo sie nicht konvergiert macht es keinen Sinn, die Potenzreihe einzusetzen. Z.B. für x=1 er gibt sich 1+3+5+7+..., also unendlich. Für x=1/2 konvergiert die Potenzreihe allerdings wunderbar: 1+3/2+5/4+7/8+...=6

Den Konvergenzradius bekommst du mit der Formel von Cauchy-Hadamard heraus:

\( r=\frac{1}{\limsup \limits _ {n \rightarrow \infty}(\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|})}=\frac{1}{\limsup \limits _ {n \rightarrow \infty}(\sqrt[n]{|(1+2 n)|})}=1 \)

Demnach konvergiert die Potenzreihe nur für -1>x>1.

Comments

Sorry meinte -1<x<1.