Potenzreihe zur erzeugenden Funktion (1-x) / (1+x)

Question

$$Stellen\quad Sie\quad f:\quad (-1,1)\rightarrow ℝ,\quad x\rightarrow \frac { 1-x }{ 1+x } \quad als\quad Potenzreihe\quad dar.$$

Ich sitze mittlerweile schon ziemlich lange an der Aufgabe und komme einfach an keine Lösung.

Wäre ziemlich nett wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Answer 1

für \(x \in (-1,1)\) sollte folgendes eventuell bekannt sein:

$$ \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty}(-x)^k $$

Damit kommst du doch bestimmt schonmal weiter ;).

Gruß

Comments

Erstmal vielen Dank für die Antwort :)

Da wir in den Vorlesungen vor den Feiertagen eigentlich kaum bis gar nicht über Potenzreihen und der Umwandlung von (bestimmten) Funktionen in Potenzreihen gesprochen haben kann es sein, dass die Folgende Überlegung nicht Richtig ist, aber folgendes ist mir dann auf diesen Tipp eingefallen:

Da: $$\frac { 1 }{ 1+x } \quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { (-x) }^{ k } } $$

und: $$\frac { 1-x }{ 1+x } \quad =\quad \frac { 1 }{ 1+x } \quad *\quad (1-x)$$

ist ja : $$\frac { 1-x }{ 1+x } \quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { (-x) }^{ k } }*\ (1-x)$$

dies wäre ja dann : $$=\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { (-x) }^{ k }+{ (-x) }^{ k } } *({ -x }^{ 1 })\quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { (-x })^{ k }+{ (-x })^{ k+1 } } ?$$

Tut mir schon mal im Voraus leid, wenn das komplettes kauderwelsch ist, aber wie schon gesagt haben wir kaum sowas besprochen und ich weiß auch nicht ob ich gerade gegen die Rechenregeln für Reihen verstoße.

Wenn du mir hier helfen könntest wäre wirklich nett damit ich dann auch diese Vorgehensweise bei ähnlichen aufgaben drauf habe. :)

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Ist doch alles vollkommen in Ordnung :).

Die erste Gleichung kriegst du übrigens über die geometrische Reihe.

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Ich war so panisch, weil ich dachte dass man irgendwelche bestimmten Regeln beachten muss wenn man mit Reihen rumhantiert.

:)