Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen

Question

Ich habe gerade Probleme bei einer Aufgabe:

Sei \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) gegeben mit

\(f(x,y)=\begin{cases} 0, & \text{für}(x,y) = (0,0), \\ \frac{x^{2}y}{x^4+y^2}, & \text{für} (x,y)\neq(0,0).\end{cases}\)

Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen \(\frac{\partial}{\partial x}f(x,y),\quad\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\) in allen Punkten \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) existieren, und geben Sie diese Ableitungen an. Ist f in \((0,0)\) differenzierbar?

Ich weiß nicht genau, wie ich da vorgehen soll. Bei der zweiten Aufgabe muss doch f in diesem Punkt differenzierbar sein, falls die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind. Dann muss ich diesen Punkt einfach oben einsetzen und die Stetigkeit prüfen, oder?

Danke.

Answer 1

f_x^'(x,y)= 2xy(y^2 - x^4) / (x^4 + y^2) ^2 
f_y^'(x,y)=x^2 ( x^4-y^2) / (x^4 + y^2) ^2

Comments

Müsste man da nicht wieder eine Fallunterscheidung machen? Für \((x,y)=(0,0)\) müsste es doch 0 sein, oder?

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für die partielle Abl. nach x in (0;0) machst du

lim (h gegen 0) f( h,0) =

lim (h gegen 0)    0 / h^4  = 0

und nach y

lim (h gegen 0)    0 / h^2  = 0

also existieren auch bei (0;0) beide part. Ableitungen