Zeigen Sie, dass V ein Teilraum des ℝ^{2,2} ist. (Teilraum und Basis Dreiecksmatrix)

Question

Gegeben sei die Menge

\( V:=\left\{A \in \mathbb{R}^{2,2} \mid A \text { ist eine obere Dreiecksmatrix }\right\} \)
und
\( \mathcal{B}:=\left\{\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}\right)\right\} \)

(a) Zeigen Sie, dass \( V \) ein Teilraum des \( \mathbb{R}^{2,2} \) ist.

(b) Zeigen Sie, dass \( \mathcal{B} \) eine Basis von \( V \) ist.

Comments

Erstmal Begriffe klären:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksmatrix

Wenn man die Aufgabenstellung nicht versteht wird es schwierig eine Lösung zu finden.

Answer 1

für a) musst du nur zeigen:
summe zweier Dreiecksmatrizen ist wieder eine
und  faktor mal Dreiecksmatrix gibt wieder eine.

b) eine einfache Basis wäre ja sicher
00            01           10

01            00           00

Die sind lin. unabh. und erzeugen jede

obere Dreiecksmatrix, also ist die

Dimension 3 und deine drei

oberen Dreiecksmatrizen müssen

also nur lin. unabh. sein,

damit man weiss, dass sie eine Basis bilden.

also machst du den Ansatz

a*1.Matrix + b*2.Matrix + c*3.Matrix =  0-Matrix

und erhältst mit etwas rechnen a=b=c=0,

also lin. unagh.

Comments

habe bei b den Ansatz so aufgeschrieben und 2 Gleichungen raus

I. 2*b+c=0

II. a+b-2*c=0

nur bei 2 Gleichungen und 3 Variablen komm ich nicht weiter , stehe da voll auf dem schlauch!

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a*1.Matrix + b*2.Matrix + c*3.Matrix =  0-Matrix gibt

00                   0  2b                    c 0                                 00
0a         +       0    b            +      0  -2c               =            00

gibt drei Gleichungen,

für das Matrixelement oben links  0 + 0 + c = 0

für das Matrixelement oben rechts  0 + 2b + c = 0

für das Matrixelement unten rechts  a + b -2c = 0

also offenbar a=b=c=0 einzige Lösung, die drei sind

lin. unabh.