Gibt es ein Dreieck mit Winkeln α, β, γ und gegenüber liegenden Seiten der Länge a, b, c, sodass gilt: …

Question

Aufgabe:

Gibt es ein Dreieck mit Winkeln \( \alpha, \beta, \gamma \) und gegenüber liegenden Seiten der Länge \( a, b, c \), sodass gilt:

\( c=7, \quad \cos (\alpha)=\frac{3}{5} \)

und so, dass der Umfang \( 12+4 \sqrt{2} \) beträgt? Falls ja, bestimmen Sie die Längen der anderen Seiten und skizzieren Sie es.

Denke, hier benötigt man den Kosinussatz?!

\( c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \gamma \)

\( b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos \beta \)

\( a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \alpha \)

Answer 1

Der Weg zu : 1 Gleichung mit 1 Unbekannten

1. Umfang =
2. Kosinussatz
3. b =
4..6 Eingabe c, cos(a), u
7. Kosninussatz mit den Werten und nur noch 1 Unbekannten
8 . Berechnung / Auflösung nach a
9. Wert von b

Comments

Wie man an deinem Ergebnis sieht, dürfte es leichter sein, zunächst, wie ich vorgeschlagen habe, \(b\) zu bestimmen...

Answer 2

nimm die erste Gleichung
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(gamma)   wegen c=7 und Umfang=... ist a+b=5+4*wurzel(2)
49 = (a+b)^2 - 2ab - 2ab cos(gamma) 
49 = 57+40*wurzel(2)  - 2ab - 2ab cos(gamma)
-8 - 40*wurzel(2) = -2ab ( 1+cos(gamma))  
4 +20*wurzel(2) = ab ( 1+cos(gamma))     #


und man weiss ja a/sin(alpha)= c/sin(gamma)   und auch sin(alpha)=4/5
also a = c*sin(alpha) / sin(gamma) = 7 * 0,8 / sin(gamma)  gibt eingesetzt bei #

4 +20*wurzel(2) = (7 * 0,8 / sin(gamma) )* b ( 1+cos(gamma)) 

4 +20*wurzel(2) = (5,6b* ( 1+cos(gamma))  / sin(gamma)

         ???????????????? weiter weiss ich auch nicht.

Comments

Muss man dafür so viele Rechnungen benutzen?

Welche Seite fehlenn nun noch?

Bringen mir die anderen "Teile" vom Kosinussatz was?

LG

Answer 3

Hi, setze alles, was Du hast, so in die dritte Gleichung ein, dass aus dieser eine quadratische Gleichung über \(b\) wird und versuche, diese Gleichung zu lösen.

Comments

So, ich habe jetzt mal den von mir vorgeschlagenen Weg mit Papier und Bleistift durchgerechnet und habe zunächst \(b=5\) und dann \(a=4\cdot\sqrt{2}\) erhalten. Die anfänglich quadratische Gleichung aus dem Kosinussatz hat sich während der Rechnung als eine lineare entpuppt.

Angesichts der Einfachheit des Ergebnisses habe ich den Verdacht, dass es auch einen noch einfacheren Weg geben könnte.