Vektor ermitteln anhand des Vektorprodukts: b=(2; 1; -2); c=(1; 2; 2). x×b=c

Question

Ermitteln Sie einen Vektor x, für den x×b=c ist. b=(2; 1; -2); c=(1; 2; 2)

Answer 1

[a, b, c] ⨯ [2, 1, -2] = [1, 2, 2]

-2b-c = 1
2c + 2a = 2
a - 2b = 2

Das ist ein LGS mit der Lösung

a = 1 - c
b = -(c + 1)/2
c = c

[1-c, -(c + 1)/2, c]

Also für c = 1 z.B. [0, -1, 1]

Wir schauen ob das Funktioniert

[0, -1, 1] ⨯ [2, 1, -2] = [1, 2, 2]

stimmt.

Answer 2

Eine Methode. Die Komponenten von x mit x,y und z bezeichnen. Das Vektorprodukt formal ausrechnen. Komponentenweise = c setzen und dann das lineare Gleichungssystem lösen.

Ich komme auf folgendes Gleichungssystem. 

(I) -2y - z = 1

(II) 2z + 2x = 2

(III) x - 2y = 2

Bitte erst nachprüfen und dann x, y und z noch ausrechnen.

 

(I) -2y - z = 1

(III) -2y +x  = 2

-------------------   (III)-(I)

(IV) x+z = 1

Dazu (II) 

2x + 2z = 2 liefert keine neue Information.

Sieht tatsächlich so aus, als ob die Antwort nicht eindeutig ist.

Ich nehme mal einen Parameter t für x.

Dann ist  wegen (IV) z = 1-t

und wegen (III) t - 2y = 2

Somit t-2 = 2y

y = t/2 - 1.

Somit hätte ich als L ={x| x = (t, t/2 -1, 1-t) , t Element R}

Oder mit s=t/2

 L ={x| x = (2s, s -1, 1-2s) , t Element R}

Die Spitzen dieser Vektoren bilden eine Gerade

g: r = (0, -1, 1) + s(2, 1, -2)

 

Comments

Die Gleichungen hab ich genauso, aber wenn ich versuche nach x,y und z aufzulösen, kommen bei mir immer allgemeine Aussagen wie 2=2 raus. Da komm ich einfach nicht mehr weiter.

---

Ich hab oben mal weitergerechnet. Das ist spannend. Man müsste das dann wohl noch geometrisch deuten.

Wenn man X in Richtung von b verschiebt, ändert sich die Fläche des Parallelogramms und die Richtung der Normalen c nicht. Deshalb die oben gefundene Lösungsmenge mit dem Richtungsvektor b.