Funktionenschar fa(x)= 1/2 ax^3 - 3/2 ax +a. Nullstellen mit Parameter

Question

fa(x)=  1/2 ax^3 - 3/2 ax +a

Wenn ich die Nullstellen berechnen muss, würde ich a ausklammern.

0= a(1/2x^3 - 3/2x)

Ist die erste Nullstelle X1= a oder ist sie X1= 0? Oder gar nichts von beiden? :)

Vielen Dank schon mal!

Gruß Thomas

Answer 1

a(x)=  1/2 ax³ - 3/2 ax +a
Wenn ich die Nullstellen berechnen muss, würde ich a ausklammern.

0= a(1/2x³ - 3/2x) |  falsch
0 = a * (1/2 * x³ - 3/2 * x + 1 )

1/2 * x³ - 3/2 * x + 1 = 0

Zur Bestimmung der 1.Nullstelle wird geraten oder probiert. x = 1
1/2 * 1³ - 3/2 * 1 + 1 = 0  | stimmt

Nun eine Polynomdivision. Oder zuvor noch durch 1/2 teilen
1/2 * x³ - 3/2 * x + 1 = 0 | : 1/2
x^3 - 3 * x + 2 = 0

x^3 - 3 * x + 2 : x - 1 = x^2 + x - 2

x^2 + x - 2 = 0  | lösen mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung
x = 1
und
x = -2

x = -2, 1  ( 1 ist eine doppelte Nullstelle, Berührpunkt )

Graph für a = 1 und a = 2

~plot~ 1/2 * x^3 - 3/2 * x + 1 ; x^3 - 3 * x + 2 ~plot~

Comments

0 = a * (1/2 * x³ - 3/2 * x + 1 ) 

Warum eigentlich +1, muss man das a ersetzen? oder wie?

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Wenn du ausklammerst, musst du jeden Summanden (aus dem du ausklammern möchtest) durch a teilen. a geteilt durch a ergibt nun mal 1. :P

Du kannst auch die Probe machen und das a wieder mit jedem Summanden in der Klammer multiplizieren (also ausmultiplizieren), dann siehst du, dass die 1 da sein muss.

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Ok, ja das ist logisch ;)