Lösung von (A^tr A | 0) <=> (A | 0)

Question

Sei A∈ℝ^mxn

Wie zeigt man dass die Lösung von (A^tr * A | 0 ) = Lösung von (A | 0 ) ist

Comments

tr für "transponiert" und * für mal oder sonst was?

Answer 1

Was bedeutet den Deine schreibweise genau? Ich versteh das nicht.

Comments

tr = transponiert

* = die normale Matrix multiplikation

(A^tr * A | 0 ) soll bedeuten auf der linken Seite steht A transponiert mal A und auf der rechten Seite 0 getrennt durch '|'

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Also s?

$$ A^t A = 0 $$ und \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \)

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Oder auch \(A^\mathsf TAx=0\Leftrightarrow Ax=0\)?

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Es geht ja um die Lösung also wie bereits unten genannt:

A^T Ax = 0 <=> Ax = 0 ist zu zeigen

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wenn \( Ax = 0 \)  gilt, folgt \( A^tAx = A^t0 = 0  \) Das ist die eine Richtung. Wenn \(A^tA x = 0 \) gilt, folgt

$$  \| Ax \|^2 = x^tA^tAx = x^t0 = 0 $$ und daraus folgt \( Ax = 0 \)

D.h. \( \text{Kern}(A^tA) = \text{Kern}(A) \) was zu zeigen war.