Eine unter vermutlich vielen Methoden dieses Integral abzuschätzen wäre die folgende.
Zeige zunächst per Induktion über \(n\), dass \((2n+1)\cdot n!>4^n\) für alle \(n>4\) gilt.
Summandenweise Integration der Exponentialreihe liefert unter Berücksichtigung der Integrationsgrenzen$$S:=\int_0^1e^{-x^2}\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\cdot n!}.$$Es folgt$$\left\vert S-\sum_{n=0}^5\frac{(-1)^n}{(2n+1)\cdot n!}\right\vert<\sum_{n=6}^\infty\left(\frac14\right)^n$$$$\left\vert S-\frac{31049}{41580}\right\vert<\frac1{3072}.$$
