Kurvendiskussion. f (x)= -x^4+5x^2-4. Extrema?! Kann es sein, dass wir gar kein p haben?

Question

Heeey, ihr Lieben (: Könnt ihr mir weiterhelfen beim berechnen der Extrema der Funktion f (x)= -x^4+5x^2-4 ?! Kann es sein, dass wir gar kein p haben ? :o Hilfe, bitte :/

Comments

Hi

Hier mal die Skizze zu Deiner Funktion:

Answer 1

Hi kiki,

Zum Berechnen der Extrema bestimme erstmal die Ableitung:

f'(x)=-4x^3+10x

f''(x)=-12x^2+10

 

Nun bedenke, dass gilt: f'(x)=0 und f''(x)>0 für Minimum

f'(x)=0 und f''(x)<0 für Maximum.

 

Wenn wir nun die Nullstellen von f'(x) bestimmen:

f'(x)=-4x^3+10x=0

Ausklammern von x:

x(-4x^2+10)=0

Ein Produkt ist dann Null, wenn es ein Faktor ist:

x₁=0

Außerdem:

-4x^2+10=0

-4x^2=-10

x^2=10/4

x_2,3=±√(10/4)≈±1,58

 

Überprüfen mit der zweiten Ableitung:

f''(x₁)>0 -> Minimum

f''(x₂)<0 -> Maximum

f(x₃)<0 -> Maximum

 

Dann damit in f(x) um den zugehörigen y-Wert zu bestimmen:

f(x₁)=-4

f''(x₂)=2,25

f''(x₃)=2,25

 

Damit sind die Extrempunkte zu finden bei

H₁(-1,58|2,25)

T(0|-4)

H₂(1,58|2,25)

 

 

Grüße

 

P.S.: Vergleiche auch mit dem Schaubild von Johann. Es passt offensichtlich ;).

 

Answer 2

Hi

1. Ableitungen:
y(x) = - x^4 + 5*x^2 - 4;
y'(x) = - 4*x^3 + 10*x;
y''(x) = 10 - 12*x^2;

2. Extrema:
Aus:
y'(x) = - 4*x^3 + 10*x = 0;
x₁= 0;
x₂=  10^{1/2}/2;
x₃=  -10^{1/2}/2;


Max1(10^{1/2}/2 | 9/4)
y''(  x = 10^{1/2}/2  ) = -20 < 0 --> Maximum

Max1(-10^{1/2}/2 | 9/4)
y''(  x = (-10^{1/2}/2  ) = -20 < 0 --> Maximum

Min( 0 | -4 )
y''(  x = 0  ) = 10 > 0 --> Minimum