Konvergenz von einer Zahlenfolge. Wie geht das?

Question

a) Für die Zahlenfolge   {a_n } : a_n = n/3ⁿ   (soll ein Bruch sein) sind die ersten sechs Felgenglieder zu berechnen.

Erste Frage : Ist die oben angegebene Zahlenfolge Konvergent?(Begründung)

Zweite Frage : b)  Ist die zur obigen Zahlenfolge gehörige Reihe ^∞∑_n=1 n/3ⁿ (auch wieder ein Bruch)  konvergent ?

Comments

Erstmal a)
Berechnen kannst dus, nehme ich an? Dass die Folge - wahrscheinlich - gegen Null konvergiert, ist ja erstmal klar. Dass sie es acuh tatsächlich tut, kannst du z.B. beweisen, indem du zeigst, dass \(\frac {n}{3^n} < \frac 1 n \)für alle natürlichen n ist.
Und zu jedem ε > 0 ist natürlich \(1/n < \varepsilon \) für alle \(n > n_0:=\frac 1 \varepsilon \).

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Also erst einmal ein Dankeschön !

Als nächstes zu der Berechnung. Also ich weiß (bzw. ich hoffe das ich es weis) das man für n eine natürliche Zahl eingeben muss um in dem fall die ersten Folgeglieder zu berechnen, d.h. zBsp. 1-6 oder?

Deine Antwort habe ich soweit bis zur dritten Zeile verstanden, aber mit der letzten kann ich nichts anfangen, sorry ... :/

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Ja, das erste Folgenglied wäre z.B. 1/3, das zweite 2/9.

Konvergenz von Folgen definiert man im Reellen in der Regel so:

Eine Folge \((a_n) \) in \(\mathbb R\) konvergiert gegen \(a \in \mathbb R\), falls gilt:

$$\forall \varepsilon>0\exists n_0\in\mathbb N: |a_n-a| < \varepsilon \forall n\ge n_0.$$

Das heißt, die Folge konvergiert gegen a, falls du zu jeder noch so kleinen (positiven) zahl ε einen Index finden kannst, sodass der Abstand aller Folgenglieder mit größerem Index zu a kleiner ist als ε

Dass deine Folge gegen 0 konvergiert heißt, wenn ich dir eine noch so kleine positive Zahl gebe, musst du mir einen Index geben können, sodass alle weiteren Folgenglieder kleiner sind. Beispiel: ε=1. Offenbar reicht da \(n_0=1\), weil alle Folgenglieder kleiner als 1 sind. Wenn ich dir ε=1/4 gebe, kannst du sagen: für alle n>2 ist a_n auf jeden Fall kleiner als 1/4. Das sind natürlich nur Beispiele, man muss für jedes ε>0 einen Index angeben können. Für die Folge 1/n kann ich etwa sagen: Gib mir irgendein  ε>0. Egal, wie klein das ist, es gilt auf jeden Fall

$$ \frac 1 n < \varepsilon $$ für alle n > 1/ε.

Verstanden? Wenn nicht, frag einfach nochmal.

PS: kleine Anmerkung zur Orthographie: "ich weiß, dass"

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Also vorab, entschuldige meine Rechtschreibung aber ich bin schon seit sehr früh am Morgen am dauerlernen und achte da nun auch nicht mehr darauf. ( ich bin schon echt durch ^^)
So, im Prinzip heißt das jetzt grob gesagt nur, dass je größer der Wert meines N wird, desto weiter näher ich mich in meinem Ergebnis der 0, dass habe ich richtig verstanden oder?... und das wäre dann auch die Antwort auf die eigentliche Frage ?!

Und ist das dann auch die Antwort für die Frage b) ?

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Das bedeutet Konvergenz, ja. Man muss (je nachdem, was du studierst) aber beweisen, dass das wirklich der Fall ist und eine Möglichkeit wäre die oben genannte, zu zeigen, dass \( \frac {n}{3^n} < 1/ n \) ist. Und weil 1. alle Glieder der beiden Folgen immer > 0 sind und 2. letztere gegen 0 konvergiert, triff das auch auf die erste zu.

Anders gesagt: Für jedes ε>0 gilt
$$\frac {n}{3^n} <\frac {1}{n} < \varepsilon$$ für alle \(n > \frac 1 \varepsilon \).

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Über die Konvergenz der Reihe ist damit übrigens noch nichts gesagt. Zum Beispiel konvergiert die Reihe

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac 1 n$$

nicht. Deine übrigens schon, aber das muss man anders zeigen. Was weißt du denn über Reihen bzw. welche konvergenten Reihen kennst du?

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Okay also damit verwirrst du mich. Wieso ist meine Reihe konvergent und die die du angegeben hast nicht ? Bei deinem Beispiel näher ich mich doch auch der "Null" ?!

Also um ehrlich zu sein weiß ich gar nichts davon, ich habe mich heute das erste mal damit befasst. Wir hatten zwar das Thema "Abbildungen" in der Vorlesung aber die Konvergenz haben wir nicht durchgenommen. Ich habe in einer Übungsklausur Aufgaben zu diesem Thema gefunden und hatte vor mir das dann selbst beizubringen um es wenigstens fürs erste ein bisschen zu verstehen.

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Dann ist das ganze nicht so leicht. Es ist zum Beispiel nicht auf den ersten Blick einsichtig, warum - um ein anderes Beispiel zu bringen, die Reihe \( \sum \frac {1}{n^2} \) konvergiert und \(\sum \frac 1 n\) nicht, obwohl es stimmt, dass die Folgen \(\frac 1 n\) und \(\frac{1}{n^2}\) gegen Null streben.
Aber bedenke, dass \(\sum \frac 1 n = 1 + \frac 1 2 +\frac 1 3 +\dots\) eine Summe mit unenedlich vielen positiven Summanden ist und so gesehen könnte es erstmal verwundern, wenn dabei ein endlicher Wert rauskommt. 1/n^2 strebt aber schnell genug gegen Null, dass der Wert dieser Summe tatsächlich \( < \infty \) ist. Es gibt verschiedene Kriterien, die man heranziehen kann, um zu eruieren, ob eine Reihe konvergiert, so leicht ist das aber nicht immer. Wenn du etwa zwei Folgen \((a_n),(b_n)\) hast und weißt, dass
$$ \sum_{n=1}^\infty b_n < \infty $$ ist (die Schreibweise bedeutet: die Reihe konvergiert) und außerdem \(|a_n| < b_n\) für alle n bis auf endlich viele Ausnahmen ist, dann konvergiert auch \( \sum_{n=1}^\infty a_n\). Wenn du zum Beispiel zeigen kannst, dass \( \frac {n}{3^n} < \frac {1}{n^2} \) für fast alle n (oder alle) n ist, dann kannst du aus der Konvergenz der Reihe \( \sum \frac {1}{n^2} \) die von \( \sum \frac {n}{3^n} \) folgern.