3 Gleichungen 4 Unbekannte, Gauß Verfahren

Question

Ich muss zu einem Graph 4. Grades eine Funktion aufstellen. Mir sind folgende Punkte gegeben: 

Hochpunkt 1: (11|3,6)
Tiefpunkt 1: (13,5|3)
Hochpunkt 2: (16|3,3)

Da ich weiß, dass an diesen jeweiligen Punkten die Steigung = 0 ist, hab ich die 1. Ableitung der Funktion 4. Grades erstellt und die x-Werte eingesetzt. 

I.  4 × a × (11)³ + 3 × b × (11)² + 2 × c × (11) + d = 0    
II.   4 × a × (13.5)³ + 3 × b × (13.5)² + 2 × c × (13.5) + d = 0   
III. 4 × a × (16)³ + 3 × b × (16)² + 2 × c × (16) + d = 0   

  
Wie kann ich die Gleichungen zusammenfassen und wie kann ich die lösen? Habe schließlich  nur 3 Gleichungen aber 4 Unbekannte...      
:)

Comments

Das soll ja wahrscheinlich zur Aufstellung einer Funktion
3.Grades dienen.
Meine Vermutung : du hast nicht alle Angaben in der Aufgabenstellung
verwendet.
Stelle wenn möglich den Aufgabentext hier ein.

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Dir sind wahrscheinlich die 3 Nullstellen gegeben.

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Oder es gibt letztlich nicht nur eine Funktion durch die drei

Punkte, sondern eine ganze Funktionenschar.

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An der mündlichen Abiprüfung schaut dir niemand zu, bis du ein LGS mit Gauss vollständig aufgelöst hast. Deine Rechenfähigkeiten kann man ja in der schriftlichen Arbeit schon sehen.

Du musst während deiner Rechnung sprechen. D.h. laufend sagen, was du machst. Wie du auf die Gleichungen kommst. Wann du genug Gleichungen hast. Und dann sagen, dass man diese Gleichungen nun maschinell auflösen lassen könnte, du noch zeigen möchtest, wie das von Hand möglich wäre und eine Auflösung nach Gauss beginnen.

Vermutlich wirst du bald unterbrochen. Man wird dich vielleicht fragen, ob du dir eine andere Vorgehensweise vorstellen kannst. Z.B. andere Koordinaten wählen um die Symmetrie auszunützen...

Oder:

Wie die Integrationsformel für Rotationsvolumina / Oberflächen .... aussieht und warum. Da kannst du die Theorie erklären.

Wenn die Zeit reicht (weil deine Antwort harzt oder souverän ausfiel), wird vielleicht auch eine zweite Frage aus einem ganz andern Gebiet gestellt.

Answer 1

Wie schon vermutet hast du einige Information nicht genutzt

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x + e
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d

Hochpunkt 1: (11|3,6)
Tiefpunkt 1: (13,5|3)
Hochpunkt 2: (16|3,3)

f ( 11 ) = 3.6
f ( 13.5 ) = 3
f ( 16 ) = 3.3

f ´( 11 ) = 0
f ´ ( 13.5 ) = 0
f ´ (  16 ) = 0

Comments

Mit den ersten 5 Gleichungen kommt ein Matheprogramm auf

f(x) = -54/3125·x^4 + 2886/3125·x^3 - 114543/6250·x^2 + 499851/3125·x - 3215823/6250

Sollt Ihr das wirklich zu Fuß rechnen ?

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und was heißt das dann für a, b, c und d? naja also ist meine mündliche Matheprüfung im Abi..

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a = -54 / 3125
b = 2886 / 3125
...
e = -3215823 / 6250

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Oh gott... das ist jetzt die Funktion zu dem Graph?

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f(x) = -54/3125·x⁴ + 2886/3125·x³ - 114543/6250·x² + 499851/3125·x - 3215823/6250

~plot~  -54/3125*x^4 + 2886/3125*x^3 - 114543/6250*x^2 + 499851/3125*x - 3215823/6250 ~plot~

Bitte in den Bereich zwischen x = 7 und x = 15 zoomen.
Dort ist die Kurve.

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Oh, alles klar.
Aber so ganz ohne Matheprogramm ist es nicht möglich die Funktion aufzustellen? Da ich in meiner Prüfung vermutlich auch ein Lösungsweg brauchen werde..

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Erinnert mich an einen Zahn. Grins.

Ist ist eher unüblich so eine Aufgabe zu stellen die einen so
hohen Rechenaufwand darstellt und bei der so krumme Zahlen
herauskommen

Stimmen deine Angaben im Aufgabentext ?

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3 Gleichungen hast du ja schon.
Nun noch die Gleichungen für

f ( 11 ) = 3.6
f ( 13.5 ) = 3

aufstellen.

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Vermutlich stimmen die Angaben.

Die eigentliche Aufgabe ist es das Volumen einer Normbrunnenflasche zu berechnen. Da mir in der Aufgabenstellung keine weiteren Angaben über die Größenverhältnisse der Falsche gegeben sind, musste ich die selbst ausmessen.

Die Flasche habe ich in 4 Teile gegliedert. Der Teil der mir jetzt Schwierigkeiten bereitet ist die "Taille" der Flasche, wofür Sie gerade eben eine Funktion aufgestellt haben.

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links von x = 11 geht die Funktion dann waagerecht weiter ?

Mal einmal die Flasche auf.

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Nachtrag : hier im Forum wird üblicherweise das du verwendet.

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i Ja, die geht links von x= 11 waagerecht weiter.

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Deine Maße weichen aber von denen in der Aufgabenstellung ab
h1 =11/2 cm
h2= 16 / 2 cm ???

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h1; h2 etc. soll nur Höhe 1, Höhe 2 ... bedeuten

also die Höhe 1 = 11cm

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Du hast in deiner Aufgabenstellung doch
( 11 | 3.6 ) angegeben.
Nach der Skizze ist der Punkt
( 11 | 5.5 ).

Ich brauche den Verlauf der Flaschenform oberhalb der x-Achse.
( 0 | 5.5 )
( 11 | 5.5 )
(  13 | 4.9 )
usw.

Vielleicht sollten wir auch die Wandstärke berücksichtigen und damit nur
die Innenmaße einsetzen.

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Okay also das sollte eigentlich die Skizze sein.

Meine Aufgabe besteht darin das maximale Volumen der Flasche zu berechnen (Rotationsvolumen). Die Flasche (0,7 Liter) ist eigentlich 29,4 cm hoch, habe aber 1 cm abgezogen wegen der Bodendicke. Die Wanddicke konnte ich leider nur im 4. Teil miteinbeziehen, da ich dort die Wanddicke an der Flaschenöffnung abmessen konnte..

Hier einige Angaben zur Flasche:

- Bodendurchmesser: 7,2 cm

- Maximale Füllung (abgemessen): 0,76 Liter

- Wanddicke an der Flaschenöffnung: 3mm

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( 16 | 3.3 )

oder

( 16 | 3.6 ) ?

Den 3.Teil hast du mit einer Geraden gezeichnet.

Ist nicht ein knickfreier Übergang von 2 nach 3 und
3 nach 4 der Realität entsprechend ?

Der 4.Teil ist wieder ein Zylinder ( wie Teil 1 ).

Mit meinem Matheprogramm ist dies relativ schnell
berechnet. Ich brauche allerdings die richtigen Vorgaben.

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Oh, tut mir leid. Hab mich bei der Beschriftung vertan. Der Punkt soll natürlich (16|3,3) heißen.

Ja, die Teile sind schon knickfrei.. ich wusste jedoch nicht wie ich das anders berechnen soll, als das zu unterteilen und als Gerade bzw. Zylinder behandeln.

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Die Koordinaten für Teil 2 und Teil 3

f ( 11 ) = 3.6
f ( 13.5 ) = 3
f ( 16 ) = 3.3
f ´( 11 ) = 0
f ´ ( 13.5 ) = 0
f ´ (  16 ) = 0

Teil 3
f ( 26 ) = ?
f ´( 26 ) = 0

Könnte man auch als 1 Funktion berechnen.

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Ich bin jetzt erst einmal essen.

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f (26) = 1,9

Wie kann ich das als eine Funktion berechnen? Oh man wieso muss das so schwer sein

Guten Hunger!

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Stimmt noch nicht
f(x) =
0,0000037*x^7 - 0,00051*x^6 + 0,0294*·x^5 - 0,9181*x^4 +
16,779*x^3 - 179,38*x^2 + 1038,9*x - 2512

~plot~  0,0000037*x^7 - 0,00051*x^6  ; [[ 11 | 26 | 0| 4 ]] ~plot~

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Kann ich die Funktion bzw. den Graph von H1 bis H2 also in dem Intervall 11-16 nicht verschieben? Also so das der Bereich dann zwischen 0 und 5 ist?

Ändert das etwas am Volumen? Weil Theoretisch wäre das ja einfacher ..

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Der Umfang an der Stelle x = 26 beträgt 12

Dann hab ich mit Hilfe der Formel für die Kreisfläche den Radius = 1,9 ermittelt.

Also 12 = 2 * pi * r

1,91= r

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Für die ersten 6 Bedingungen ergibt sich folgendes Gleichungssystem

161051a + 14641b + 1331c + 121d + 11e + f = 3,6
448403,34375a + 33215,0625b + 2460,375c + 182,25d + 13,5e + f = 3
1048576a + 65536b + 4096c + 256d + 16e + f = 3,3
73205a + 5324b + 363c + 22d + e = 0
166075,3125a + 9841,5b + 546,75c + 27d + e = 0
327680a + 16384b + 768c + 32d + e = 0

Berechnet ergibt sich

Die Funktion erfüllt alle Punkte und die Steigungen.

So etwas zu Fuß zu berechnen dauert sicher 1/2 Std
( verrechnen inbegriffen )

Was sollst du nun

Sollst du zeigen das du ein lineares Gleichungssystem nach
Gauß berechnen kannst

Oder

sollst du zeigen das du das Volumen einer Flasche
( Funktion aufstellen
f ( x ) =
A ( x ) = [ f ( x ) ] ^2 * PI
V ( x ) = Stammfunktion A ( x ) zwischen 11 und 16
berechnen kannst ?

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Zweiteres
Aber die Herleitung der Funktion ist natürlich auch nicht ganz so unwichtig.

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Wie das lineare Gleichungssystem zustanden gekommen
ist weißt du ja.

Nach der Ermittlung der Funktionsgleichung berechnet mein Matheprogramm

f ist die Funktion
a ist die Fläche
gf ist die Stammfunktion
Volumen : Stammfunktion zwischen 11 und 16 cm = 162.33 cm^3

Auf der rechten Seite wurde etwas abgeschnitten, weil zu lang.

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Okay alles klar, ich muss das alles noch nachvollziehen.

Kann dein Programm zufälligerweise auch schnell Geraden ausrechnen?

Habe für den 3. Teil die Funktion f(x) = -0,14x+5,54 im Bereich von 16 und 26. Kann das hinkommen? Für das Volumen habe ich in diesem Bereich 217,36. Bin mir jedoch unsicher ob das so stimmen kann.

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Hier die Skizze

Das Volumen wurde mit 217.5 richtig berechnet.

Das ist aber keine normale Mineralwasserflasche.

Ansonsten

Man könnte in 5 Teile unterteilen

1. links ein Zylindervolumen
2..4 ) 3 Funktionen 3.Grades ( knickfreie Übergänge )
5) ein kleiner Zylinder

Die erste Funktion 3.Grades kann von Hand berechnet und
vorgeführt werden. Da hält sich der Arbeitsaufwand und
die Kompliziertheit in Grenzen.

Von den beiden anderen Funktionen werden mit dem Matheprogramm
die Funktionsterme und Volumnina berechnet.