Maximal linear unabhängige Teilmenge von Vektoren angeben

Question

Hey :), meine Frage:

\( v_{1}=\left(\begin{array}{c}{5} \\ {15} \\ {-5}\end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c}{2} \\ {6} \\ {-3}\end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c}{14} \\ {42} \\ {21}\end{array}\right), \) und \( v_{4}=\left(\begin{array}{c}{-\frac{4}{3}} \\ {-4} \\ {-2}\end{array}\right) \)

Geben Sie eine maximal linear unabhängige Teilmenge von {v1, v2, v3, v4}  an, sowie maximal lineare unabhängigkeit begründen.

Ich versteht das leider nicht, auch nicht was in der Lösung überhaupt gemacht wurde.

v3= 7*((12/5) *v1 - 5* v2)

v4= (-2/21) * v3

durch normieren kommt man irgendwie auf 1/5*v1 =(1;3;1)   1/2*v2=(1;3;(-3/2))

Answer 1

die Gleichung
v4= (-2/21) * v3  kannst du ja leicht nachrechnen.

also ist der v4 von v3 abhängig und du musst schauen, ob v1,v2,v3 vielleicht
lin. unabh. sind.

zeigt sich, dass dem nicht so ist, sondern v3 in der Form
v3= 7*((12/5) *v1 - 5* v2)
durch v1 und v2 dargestellt werden kann.

v1 und v2 sind aber sicher lin. unabh.
also bilden sie eine max. Menge von lin. unabhängigen.
Normierung ist nicht nötig.

Comments

Danke, das hat schon geholfen,

könntest du noch genauer drauf eingehen, was du meinst?

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wie kommt man den auf v4 und v3, die sind aus der Lösung

wurde dafür ein Gleichungssystem erstellt?

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genau, macht man meistens mit dem Ansatz

x1*v1 + x2*v2 + x3*v3 + x4*v4 = 0

und löst das Gl. syst.

Das hat rang = 2, also

max 2 lin. unabhängige in der Menge.

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Ich danke dir wirklich.

Wenn du es hinkriegen könntest mir das ausführlich zu zeigen wie man auf die Gleichungen kommt wär ich happy :D.

Hab schon viel versucht und komme nicht drauf.

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mach doch mal den Ansatz

v3 = a*v1 + b*v2 und rechne a und b aus.

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Habe ich gemacht, wenn man das einsetzt in v3=a*v1+b*v2

hat man ja 5a+2b = 14,15a+6b=42,-5a+3b =21   wenn ich das in Zeilenstufen Form umwandele komme ich auf

b=-35 und a =84/5  komischer Erbenisse irgendwie ?

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Du hattest dich doch über

v3= 7*((12/5) *v1 - 5* v2)

Das hast du mit deiner Rechnung bestätigt; denn

v3= 7*((12/5) *v1 - 5* v2)  = 84/5  * v1  - 35 * v2

genau deine Zahlen

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Ich glaub Sie haben das falsch verstanden, also oben habe ich geschrieben, dass

v3= 7*((12/5) *v1 - 5* v2)

v4= (-2/21) * v3

die Gleichungen sind aus der Lösung ,ich weiß eben nicht  wie ich auf sie kommen soll.

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Du hast doch doch selber ausgerechnet:

Habe ich gemacht, wenn man das einsetzt in v3=a*v1+b*v2

hat man ja 5a+2b = 14,15a+6b=42,-5a+3b =21   wenn ich das in Zeilenstufen Form umwandele komme ich auf

b=-35 und a =84/5  komischer Erbenisse irgendwie ? 

Und diese Zahlen sind genau die gleichen, wei in der

Lösung angegeben.