Ermitteln und Untersuchen von Lösungsmengen von Ungleichungen

Question

Ich kann bei der folgenden Aufgabe nicht genau nachvollziehen, dass die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) ≤ c ein Intervall bildet. Ich bitte um eine alternative Erklärung zur diejenigen aus dem Buch.

gerechnetes Beispiel vom Buch:

Es sei $$f\left( x \right) \quad =\quad -\frac { 3 }{ 4 } { x }^{ 3 }+\frac { 9 }{ 4 } { x }^{ 2 }-5$$. Für welche c ∈ ℝ ist die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) ≥ ein Intervall?

Lösung:

Zeige selbst, dass H=(2|-2) ein Hochpunkt und T=(0|-5) ein Tiefpunkt des Graphen von f ist und skizziere den Graphen (siehe Abb_3.14). Wir betrachten die Parallelen zur ersten Achse mit der Gleichung y = c. Man erkennt: für c  ≤ -5 sowie für c > -2 ist die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) ≥ c ein Intervall. In allen anderen Fällen zerfällt die Lösungsmenge in mehrere Teile.

Wenn c ≤ -5 ist, dann kann c Zahlen wie -6, -7, -8.5 usw. annehmen. Dann könnte sein, dass z.B.: f(x) ≥ -7 ist. Doch wie ist dies dann mit dieser Graphik vereinbar, da die Werte von f(x) ≥ -7 auch außerhalb der Schranken -5 und -2 liegen?

Danke für eure Bemühung!

Comments

Vielleicht nocheinmal in aller Kürze

Ist c = -5 dann gibt es nur eine Lösung x = 3
( ich sehe gerade x = 0 ist auch möglich, spielt aber keine Rolle )

ist c < -5 dann liegt x zwischen : 3 < x < ∞
oder
die Lösungsmenge ist  das Interval ] 3 ; ∞ [

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laut Angabe im Buch wird gefragt: Für welche c ∈ ℝ ist die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) ≥ c ein Intervall? ... (ich habe erst später bemerkt, dass die Angabe oben falsch vom Buch abgeschrieben wurde)  Wenn jetzt f(x) die Werte unterhalb von c=-5 annnimt, dann gilt doch f(x)<c. und nicht f(x) ≥ c.

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Falls gilt f(x) ≥ c dann müßte c >= -2 sein ( 1.Lösung )

Und c <= -5 denn für
c = -6 wäre das Intervall 3 < x < 3.2 ( geschätzt ).
Die Lösungsmenge liegt in 1 Intervall.

Answer 1

Wenn c ≤ -5 ist, dann kann c Zahlen wie -6, -7, -8.5 usw. annehmen.
Genau, aber das c sagt doch in welcher Höhe die waagerechte Linie verläuft.
Und die Lösungsmenge sind alle x-Werte, bei denen der Funktionsgraph UNTERHALB
der waagerechten Linie verläuft.
Also etwa für c=-6 schneidet die waagerechte Linie den Graphen bei x=3.
Und für alle x > 3 verläuft der Graph unterhalb der waagerechten Linie,
also ist die Lösungsmenge das Intervall ] 3 ; unendlich [

würdest du aber die waagerechte Linie bei -4 hinlegen, gäbe es unterschiedliche Stücke bei der
Lösungsmenge, etwa von -0,5 bis +0,8 und dann wieder alle x, die größer als 2,8 sind.
Lösungsmenge wäre also aus zwei Teilen zusammengesetzt.

Comments

laut Angabe im Buch wird gefragt: Für welche c ∈ ℝ ist die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) ≥ c ein Intervall? ... (ich habe erst später bemerkt, dass die Angabe oben falsch vom Buch abgeschrieben wurde)  Wenn jetzt f(x) die Werte unterhalb von c=-5 annnimt, dann gilt doch f(x)<c. und nicht f(x) ≥ c.

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Man erkennt: für c  ≤ -5 sowie für c > -2 ist die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) ≥ c ein Intervall.

also c aus [-5; -2 [ .