Polynomgleichungen. Zeige: -x^4+x^2=1+a^2 hat für a Element R keine Lösung.

Question

Zeigen Sie: Die Gleichung -x⁴+x²=1+a² hat für a (dieses komische E) (dieses komische R) keine Lösung.

Answer 1

Viel heißer Wind um wenig Arbeit:

$$ -x^4+x²-1-a^2 = 0$$

Substituiere $$z=x^2$$

und wende die PQ Formel an.

Dann steht unter der Wurzel folgender Term:

$$0,25-1-a^2$$

$$-1-a^2 > 0,25$$ für alle $$a \in \mathbb {R}$$

Ps: Das > Zeichen ist eigentlich falsch, muss aber Kontextgebunden da so stehen.

Comments

Ich habe aber doch gar nichts zum rechnen. Wenn ich alles auf eine Seite bringe, habe ich -z²+z-1-a²=0  da stehen, oder nicht?

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Ja :) stell dir einfach vor 1-a² wäre eine Zahl, wie zb 5 oder 17. Und dann Pq formel mit q=-1-a².

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Ah ok, fällt das z unter der Wurzel dann weg?

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ich hab gerade festgestellt, ich hab nen kleinen Fehler gemacht. Gib mir 2-3minuten und ich poste dir eine Antwort

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Okay soviel zum Fehler, Kurzzeitgedächtnis...(war alles richtig)

Eingesetzt in die Formel steht am Ende:
$$\frac {1}{2}+-\sqrt {\frac {1}{4}-1-a²}$$
Das ist einfach nur Pq formel für p=-1 und q=1+a²

Der Witz ist jetzt, dass der Term unter der Wurzel immer negativ ist, egal für welches a. Da ich von 0,25 bereits 1 abgezogen habe ( und dadurch -0,75 habe) bringt es mir bei gott nichts dass da noch ein a steht.
Beachte: negative Werte heben sich durch das Quadrat auf, wenn a z.B -1 ist ist a²=1, das heißt der Term unter der Wurzel wandert für alle a aus den reellen Zahlen immer weiter ins negative.

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Okaay, danke dir:) Die 'z' lösen sich einfach auf oder wieso muss man die dann wegstreichen?

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Wir haben damit Nullstellen berechnet. Im grunde steht da die Aussage, dass

$$z^2-z+1+a^2 $$ keine Nullstellen hat (was die Aussage beweist).

Answer 2

Zeigen Sie: Die Gleichung -x⁴+x²=1+a² hat für
a ( dieses komische E ) (dieses komische R) keine Lösung. 

-x^4 + x^2 = 1 + a^2
z = x^2
-z^2 + z = 1 + a^2  | * -1
z^2 - z = -1 - a^2 
z^2 - z + 0.5^2 = -1 - a^2 + 0.25
( z - 0.5 )^2 = -a^2 - 0.75 
jetzt käme Wurzelziehen linke und rechte Seite
-a^2 - 0.75  : hieraus kann keine Wurzel
gezogen werden da der Term immer negativ ist.

Die Gleichung hat keine Lösung. Es gibt für
a ∈ ℝ ( a ist eine reelle Zahl ) keine Lösung.