3.wurzel x per Definition lim [x->a]( (f(x) -f(a) / (x-a) ) ableiten

Question

³√x

in D = ( 0 , ϖ )

ableiten mit Definition

lim_x->a(f(x) -f(a) / (x-a) )

lim_x->a( (³√x-³√a)  / x-a ) =  ... = 1 / ( 3 (³√x )² )

^ ?

Answer 1

((x + h)^{1/3} - x^{1/3})/h

= ((x + h)^{1/3} - x^{1/3})·((x + h)^{2/3} + (x + h)^{1/3}·x^{1/3} + x^{2/3}) / (h·((x + h)^{2/3} + (x + h)^{1/3}·x^{1/3} + x^{2/3}))

= h / (h·((x + h)^{2/3} + (x + h)^{1/3}·x^{1/3} + x^{2/3}))

= 1 / ((x + h)^{2/3} + (x + h)^{1/3}·x^{1/3} + x^{2/3})

Für h --> 0

= 1 / (x^{2/3} + x^{1/3}·x^{1/3} + x^{2/3})

= 1 / (3·x^{2/3})

Comments

Das einzige was dahinter steckt ist eine geschickte Erweiterung

(a - b)·(a^2 + a·b + b^2) = a^3 - b^3