Berechne die Abmessung des Zeltes.

Question

Aus vier 2 m langen Zeltstangen soll ein Spitzzelt mit quadratischer Grundfläche so gebaut werden, dass sein Volumen möglichst groß ist.

Berechne die Abmessung des Zeltes.

HB:  V=1/3*a^3*h

NB:  2^2=(a/2)^2+h^2 -->  h=Wurzel aus 4-(a/2)^2

Zielfunktion:

V(a)=1/3*a^3*Wurzel aus 4-(a/2)^2 

Ich weiß jetzt müsste die Ableitung kommen ... aber das schaffe ich nicht mit dieser Funktion XD

Answer 1

$$ V(a) = \frac {1}{3}a^3*\sqrt{4-\frac {a^2}{4}}$$ das ist die Funktion von der ich ausgehe.

1) Produktregel:

$$V'(a) = (\frac {1}{3}a^3)'*\sqrt{4-\frac {a^2}{4}}+  \frac {1}{3}a^3*(\sqrt{4-\frac {a^2}{4}})'$$

2)Kettenregel

$$(\frac {1}{3}a^3)' = a^2$$

$$(\sqrt{4-\frac {a^2}{4}})'= \frac {1}{2\sqrt{4-a^2}}*-0,5a$$

Von hier aus jetzt nurnoch zusammensetzen

Korrekturen sind wie immer erwünscht

Answer 2

$$ S_{ teilkante}=\sqrt{\frac{a^2}2 + h^2}$$
gegeben:
$$ S_{ teilkante}=2m$$
$$ 2=\sqrt{\frac{a^2}2 + h^2}$$
es darf quadriert werden:
$$ 4=\frac{a^2}2 + h^2$$
$$ h^2=4-\frac{a^2}2 $$
oder:
$$a^2= 8-   2h^2   $$
---
$$ V=\frac{a^3}3 \cdot h $$
auch hier darf quadriert werden:
$$ V^2=\frac{a^6}3 \cdot h^2 $$
und Hakwaraht ersetzen:
$$ V^2=\frac{a^6}3 \cdot 4-\frac{a^2}2 $$
oder Ahochsex:
$$ V^2=\frac{a^6}3 \cdot h^2 $$
$$ V^2=\frac{( 8-   2h^2)^3}3 \cdot h^2 $$