y1 ( 1 - c y1 - y2 ) = 0 ( 1a )
y2 ( y1 - 1 ) = 0 ( 1b )
In (1b ) hast du zwei Lösungen; ich notiere sie durch Semikolon ( oder soll ich sagen " Strichpunkt " ?)
y1;1 = 1 ; y2;2 = 0 ( 2 )
Es handelt sich nämlich um zwei verschiedene Lösungen, die " nichts voneinander wissen " ; nicht etwa um zwei Koordinaten eines iNdentischen Punktes P . Wir ermitteln jetzt P1 , indem wir y1;1 in ( 1a ) einfüttern:
1 - c - y2 = 0 ===> y2;1 = 1 - c ===> P1 = ( 1 | 1 - c ) ( 3 )
Jetzt y2;2 in ( 2 )
y1 ( 1 - c y1 ) = 0 ===> P2 = ( 0 | 0 ) ; P3 = ( 1/c | 0 ) ( 4 )
Zu b) ; ich hab extra nochmal in Wiki nachgesehen; ich will euch nicht dumm sterben lassen ===> Ljapunov Es handelt sich darum, die Jacobimatrix aufzustellen.
f ( y1 ; y2 ) = - c y1 ² - y1 y2 + y1 ( 5a )
g ( y1 ; y2 ) = y1 y2 - y2 ( 5b )
f_y1 = - 2 c y1 - y2 + 1 ( 6a )
f_y2 = - y1 ( 6b )
g_y1 = y2 ( 6c )
g_y2 = y1 - 1 ( 6d )
Beginnen wir mit dem einfachsten Fall; P2 . Hier sind die im Vorteil, die brav ihre ===> Paulimatrizen gelernt haben; es gilt
d ( f ; g ) / d ( y1 ; y2 ) ( P2 ) = S3 ( 7 )
Mit Plus eins ist ein positiver Eigenwert dabei; instabil . Jetzt P1
- c - 1
1 - c 0
Hier ich kenn euch ja. Für die Eigenwerte zu berechnen, seid ihr euch nicht zu schade, die Mitternachtsformel zu missbrauchen. Ginge es nach euren Lehrern, würde niemand mehr etwas anderes verwenden. Schauen wir uns erst mal die Determinante der Jacobimatrix J an :
det ( J ) = 1 - c > 0 ( 8a )
Jetzt hast du aber allgemein
det ( J ) = E1 E2 ( 8b )
Drei Alternativen stehen zur Auswahl; ich habe übrigens gar nicht nötig zu untersuchen, welcher wann warum eintritt:
1 ) zwei komplex ( konjugierte ) Eigenlösungen; det ( J ) = | E | ²
2) zwei positive reelle Eigenwerte
3) zwei negative reelle Eigenwerte
Jetzt wende ich mich der Spur zu:
Sp ( J ) = E1 + E2 = - c ( 8c )
Die Spur ist quasi unsere Diskriminante; sind beide Eigenwerte reell , so erfahren wir, dass sie negativ sein müssen. Eine analoge Argumentation hast du aber auch im Komplexen; denn analog ( 8c ) gilt
Sp ( J ) = 2 Re ( E ) ( 8d )
Das System ist stabil. Mal sehen, was P3 macht.
- 1 - 1 / c
0 1/c - 1
Diesmal ist die Determinante negativ wegen c < 1 Damit sind uns mit ( 8b ) zwei entgegen gesetzte reelle Eigenwerte sicher ===> instabil .
