Gelten diese Aussagen zu Eigenvektoren?

Question

ich bräuchte Hilfe bei den folgenden Aussagen und zwar soll man sagen, ob sie gelten oder nicht.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Schonmal vielen Dank

Answer 1

a)  was soll denn m sein?

b) Die Matrix

0    0    0
0    0    1
0   -1    0
hat über R nur Eigenwert 0

gehört aber nicht zur Nullabbildung

c) phi(-v) = a*v = -a * (  -v ) und v nicht 0, also auch -v nicht 0.

stimmt also.

d) phi(b*v) = b * phi(v) weil phi ein Endomorphismus ist

= b* a*v   weil  v aus dem Eigenraum von phi zum EW a

= a* (b*v)  also ist b*v ein Eigenvektor zum EW a.

Comments

Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort.

mit m ist die algebraische Vielfachheit (oder algebraische Multiplizität) von a (hier 1) als Eigenwert von ϕ gemeint.

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Heißt das bei der d) stimmt die aussage?

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Stimmt a)? Denn m_1(phi)=0 sagt ja aus dass es keinen Eigenvektor gibt oder?

Answer 2

Danke für deine Frage; es handelt sich um eine ganz typische Nachforschung, ob du weißt, in " welchem Film dass du bist "

Streng genommen ist ja Frage 1 Sinn los. Wie ist das Eigenwertproblem definiert?

A  x  =  k  x     (  1  )

Dabei heißt k  Eigenwert. Allerdings besitzt  ( 1 ) immer die triviale Lösung  x = 0 ; und damit wäre ein jedes k  €  K  Eigenwert. Manche Definitionen sind ja durchaus Sinn voll . Um diesen Trivialfall auszuschließen, setzen wir fest: Eigenvektor kann nur ein Vekrtor x > 0 sein . Nur dann ist das ===> Spektrum einer Matrix ===> diskret

Wie ihr allerdings dieses Symbol mi ( Phi ) vereinbart habt, entzieht sich meiner Kenntnis. Häufig kommen hier Anfragen, die voraus setzen, dass ich verstehe, was euer Prof meint.

Frage 2 . Soll ich ehrlich antworten ode so, wie es euer Prof will? Euer Prof sagt, es reicht, EIN  Gegenbeispiel zu bringen. Aber dieses Gegenbeispiel gleicht einem Mondkalb mit zwei Köpfen aus dem Raritätenzoo; du bist ja  dann noch lange nicht fähig, dieses Beispiel zu verallgemeinern.

Es wäre so, wie wenn dich jemand fragt

" Ist folgende Aussage richtig? Jedes Tier hat vier Beine. "

Und du antwortest

" Nein; die Sumpfrohrdommel hat nur zwei. "

Sumpfrohrdommeln sind aber voll unwesentlich für die Abstammungsgeschichte der Tiere.

Frage 2 zielt voll auf die Theorie der ===> Elementarteiler ( ET )

Als Student bist du erwachsen und selbstverantwortlich; DU setzt die Prioritäten.

" Welche Pläne habe ich für meine Karriere? Muss ich unbedingt wissen, was ET sind, oder geht mir das voll am Aasch vorbei? "

Denn irgendwo kommt der Punkt, wo du nicht mehr machen " sollst " , was der Prof will. Sondern du sollst ihm ja Arbeit abnehmen; dir selbst etwas erarbeiten.

Um überhaupt zu verstehen, was das ist: ET .  Musst du dir erst mal ein Kapitel Algebra rein ziehen z.B. aus dem v.d. Waerden. Wie ===> adjungiert man eine Nullstelle; was ist das ===> Minimalpolynom einer Wurzel? An sich nicht kritisch; denn als Werkzeug kommt hier Polynomdivision zum Einsatz; das kennst du.

Genau dieser Ansatz führte auch bei Matrizen zum Durchbruch. Nicht nach der Säkulardeterminante ( SD )  solltest du fragen, sondern nach dem Minimalpolynom enier Matrix.

Es stellt sich heraus: Die Nullstellen dieses Minimalpolynoms sind die Eigenwerte . Und die Linearfaktoren des Minimalpolynoms heißen ET .

Jede matrix löst ihre eigene SD ; damit teilt aber das Minimalpolynom die SD .

Das Minimalpolynom definiert eine ===> ortokomplementäre Zerlegung ===> Zerlegung der Eins .

Wenden wir diese Überlegungen doch mal an auf deinen Fall; die Dimension von V sei 4 711 . Wenn nun Matrix A ausschließlich Eigenwert Null hat, dann lautet ihre SD offenbar

x  ^  4711  =  0        (  2a  )

(  die Summe aller Vielfachheiten sämtlicher Eigenwerte muss immer die Dimension ergeben; in diesem Falle 4711 . Bitte mach dir das klar. )

Jetzt hatte ich aber gesagt: Jede matrix löst ihre eigene SD . Aus (  2a )  folgt somit

A  ^  4711  =  0        (  2b  )

Eine Matrix ist ===> nilpotent dann und nur dann, wenn Null ihr einziger Eigenwert ist. Das ist der Zusammenhang; sie muss also noch nicht verschwinden. 

( 2b ) besagt doch das: Wenn eine Matrix im |R ^ 4711  ausschließlich eigenwert Null hat. Dann ist sie " weg " spätestens, nachdem ich sie 4 711 Mal hintereinander angewendet habe .

Aber ihr Minimalpolynom könnte ja kleiner sein;    x  ^  k  =  0  k <  4711  .

Die ET Theorie lehrt; Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn alle ihre ET linear sind; in unserem Falle wäre A natürlich die Nullmatrix, wenn ihr Minimalpolynom hieße x ^1 = 0 .

Aussage 3 ist trivial richtig; rechne bitte nochmal ausführlich nach, falls du dir nicht sicher bist. Mehr hätte ich dazu nicht zu sagen.

Aussage 4 hat etwas Klinisches; angenommen du hast Crossover. Der Patient beim Psychiater ist Matheprof, und der Psychiater hat fundierte Mathekenntnisse. Ich glaube der bekommt ziemlich schnell raus, ob sein Patient psychisch krank ist ... Und in diesem Sinne ist Behauptung 4 krank.

Wir befinden uns im eigenraum zum Eigenwert a . D.h. alle Vektoren haben Eigenwert a . Und jetzt wird gesagt, in diesem Raum gebe es einen Vektor zu Eigenwert b .

Ja noch die Prozedur; wenn ich v mit b multipliziere ( welches v ? ) kriege ich einen Eigenvektor zum Eigenwert b .

Kannst du mir das nachfühlen? so bald du verstanden hat, was das ist, ein Eigenwert. Klingt diese Behauptung doch voll klinisch .

Comments

Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort. m(phi) wurde so definiert:

m_a(phi): Die algebraische Vielfachheit (oder algebraische Multiplizität) von a als Eigenwert von phi

Ich weiß nur leider nicht was Sie mit klinisch bei der vierten Aussage meinen.

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d) stimmt nicht, es ist zum EW a nicht wie dort behauptet zu b

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Auch ich kann Deutsch sprechen ( weil ihr doch immer " Hochpunkt " statt Maximum sagt )

Bitte sage " Vielfachheit " und nicht " Multiplizität "

Vielleicht ist es doch nicht ganz verkehrt, wenn du meiner Empfehlung folgst und ET lernst - wirst gleich sehen.

Es gibt weder eine GEOMETRISCHE noch eine ALGEBRAISCHE Vielfachheit . Es gibt nur DIE Vielfachheit; und das ist ein eindeutiger Begriff. Unter Vielfachheit eines Eigenwertes versteht man seine Vielfachheit in der SD . Du beziehst dich also auf ein ganz bestimmtes Polynom. Siehe mein obiges Beispiel; im |R ^ 4711 hat jede Matrix, die ausschließlich Eigenwert Null hat, diesen eigenwert mit Vielfachheit 4 711 .

Kommen keine Eigenwerte mehrfach, so ist natürlich das Minimalpolynom gleich der SD , und die Matrix ist in jedem Fall diagonalisierbar. Intressant wird der Fall, wo du Vielfachheirt > 1 hast; denn dann besteht die Aussicht, dass das Minimalpolynom kürzer ist wie die SD .

Wer  seine ET drauf hat, weiß: Eine Matrix ist diagomalisierbar genau dann, wenn alle ihre ET linear sind. Ich bring so gerne das Beispiel der Projektion, welche durch die Polynomgleichung definiert ist

P  ²  =  P     (  1a  )

x  ²  =  x    (  1b  )

x  (  x  -  1  )  =  0    (  1c  )

In ( 1c ) hast du zwei lineare ET zu Eigenwert Null bzw. Eins ; eine Projektion ist immer diagonalisierbar.

Ihr MINIMALPOLYNOM ist immer quadratisch; nur  im |R ^ 4711 ist ihre SD  vom Grade 4711 . Na siehste mal, dass die wesentliche Info im Minimalpolynom steckt und nicht in der SD .

Weißt du übrigens, was die anschauliche geometrische Bedeutung hinter der Vielfachheit ist? Angenommen du gehst her und führst mittels Minimalpolynom die ortogonale Zerlegung der eins durch, von der ich oben sprach. Ein Lehrsatz der ET Theorie besagt:

" Die Dimension des Komponentenraums U  (  E  )  zu Eigenwert E ist gleich der Vielfachheit von E. "

Kannst du dir sofort selber klar machen; überall auf U ( E ) gilt Eigenwert E .  Wie oft kommt diese Nullstelle?

Was ich mit Klinisch meine? " Trivial " ist ja auch eine psychologische Wertung, die über das bloße " ja / Nein; Richtig / Falsch " hinaus geht . Genau so, wenn du einen Beweis als genial empfindest. Sagst du ja auch nicht

" Ich weiß leider nicht, was Sie meinen, wenn Sie behaupten, Einstein seio genial ... "

Wenn es aber das Geniale gibt, so sicher auch sein Gegentum ...

Ich möchte aber nicht schließen, ohne die Beispielmatrix zu unterbieten. Diese gehorcht dem Minimalpolynom x ³  = 0  Jeder Physiker kennt eine Matrix mit x ² = 0

0 1

0 0

Du siehst; es geht auch ohne die erste Zeile mit den Nullen.