Gelten diese Aussagen zur Diagonalisierbarkeit?

Question

ich bräuchte Hilfe bei den folgenden Aussagen.

Bräuchte nur Ansätze zu den letzten 3 Aussagen, da ich mir bei diesen nicht ganz sicher bin.

Vielen Dank schonmal 

Answer 1

3. Eine nxn Matrix hat IMMER n Eigenwerte. Die Diagonalisierbarkeit hängt davon ob, ob es auch dementsprechend viele unabh. Eigenvektoren gibt. ( Ich glaube nicht ,dass hier von n verschiedenen Eigenwerten gesprochen wird. Selbst wenn, ändert das nichts an dem Wahrheitsgehalt der Aussage)

4. Nur die Nullmatrix ist eine nilpotente Matrix, die diagonalisierbar ist.

5. Was ist mit diesem Koeffizienten gemeint? Wahrscheinlich, dass im char. Polynom kein Wert vorkommt, der nicht von x abhängig ist? Da weiß ich gerade auch nicht weiter.

EDIT:
 Habe direkt mal ein Beispiel hier gefunden( Sehe auch,dass die Aussage keinen Sinn macht gerade):

Matrix A:

1 1

0 1

Char. Polynom: x^2-2x+1

Also 1 ungleich 0.
Aber die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Comments

Eine nxn Matrix hat IMMER n Eigenwerte

Nein, das charakteristische Polynom zerfällt nicht mal notwendigerweise in Linearfaktoren, siehe \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 2} \).

Wenn der zugrundeliegende Körper algebraisch abgeschlossen ist, zerfällt das charakteristische Polynom stets in Linearfaktoren, aber einzelne Eigenwerte können mehrfach vorkommen und somit hat man nicht zwingend \(n\) Eigenwerte.

Aussage 3 stimmt übrigens, da direkt aus der Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren folgt, dass jeder Eigenwert einen Eigenraum der Dimension mindestens 1 hat und die Eigenvektoren sind bekanntlich linear unabhängig.

Wenn es also eine nicht diagonalisierbare Matrix geben würde, die trotzdem \(n\) Eigenwerte hat, so gibt es auch \(n\) Eigenvektoren, die linear unabhängig sind und somit eine Basis bilden, d.h. die Matrix ist diagonalisierbar. Das ist ein Widerspruch.

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Oh danke, habe mir die Einschränkung des Körpers nicht genau angeschaut.

Richtig wäre: Eine Matrix hat n Eigenvektoren über C.

"

Aussage 3 stimmt übrigens, da direkt aus der Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren folgt, dass jeder Eigenwert einen Eigenraum der Dimension mindestens 1 hat und die Eigenvektoren sind bekanntlich linear unabhängig.

Wenn es also eine nicht diagonalisierbare Matrix geben würde, die trotzdem n Eigenwerte hat, so gibt es auch n Eigenvektoren, die linear unabhängig sind und somit eine Basis bilden, d.h. die Matrix ist diagonalisierbar. Das ist ein Widerspruch."


Das war doch das was ich in den Klammern meinte. Es wir ja nicht von n verschiedenen Eigenvektoren gesprochen. Eine Matrix kann doch sehr wohl n Eigenwerte haben, dann aber halt einen Eigenwert mehrmals, aber nicht diagonalisierbar sein.

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Man zählt üblicherweise nur die verschiedenen Eigenwerte. D.h. wenn eine \(n\times n\)-Matrix \(n\) Eigenwerte hat, können alle nur mit algebraischer Vielfachheit 1 vorkommen.