Ich selbst musste mal eine Schnittpunktsroutine für zwei Geraden schreiben; dies führte mich auf die Entdeckung des ( von mir so genannten ) " komplexen Sinussatzes " ( KS )
Kann man mit Matematik Geld verdienen? Ich schon; für den KS bekam ich 500 DM außertarifliche Zulage. Ich war immerhin der einzigste Mitarbeiter, der
1) alle Tarifprozente nicht nur auf das Grundgehalt ausbezahlt bekam, sondern auch auf die Zulage
2) dem bei Tariferhöhungen die Zulage nicht gekürzt wurde .
Der KS verdankt sich jener Fragestellung: Was machst du, wenn eine Gerade vertikal unter 90 ° C verläuf? Unendlich hat der Rechner nicht so gerne; ein Kollege witzelte
" Herr Dr; vermeiden Sie jedes ' If ' jedes If greift in die Logik ein ... "
Parameterdarstellung könnt ihr
g = s + k t ( 1a ) s = Startpunkt; t = Richtungsvektor
Nur eben. Vektorielle Größen im |R ² fasse ich als ===> komplexe Zahlen auf; das hat den Vorteil: Mit komplexen Zahlen kannst du richtig rechnen, insbesondere auch dividieren. So ein bissele tu ich schon der Programmiersprache ===> fortran nach trauern; wenn du nur Variable x als Typ Komplex deklariert hast, hat der automatisch gebildet x / a = Typ Komplex - kann keine Sprache außer Fortran.
Wir gehen jetzt aus von zwei Geraden
g1;2 = s1;2 + k1;2 t1;2 ( 1b )
deren Schnittpunkt zur Fahndung ausgeschrieben ist. Ich wollte das jetzt ein für alle Mal geschlossen lösen. Du musst nicht immer wieder das Rad neu erfinden und dieses LGS mit den zwei Unbekannten lösen. Du erfindest ja auch nicht jedes Mal die Mitternachtsformel ( MF ) neu .
Der KS macht eine Aussage in ( 1b ) über den Wert des Parameters k1 im Schnittpunkt; er lautet
s := s2 - s1 ( 2a )
imag ( s / t2 )
k1 = ---------------------------------- ( 2b )
imag ( t1 / t2 )
Übrigens; wenn du dir mal das Dreieck aufmalst aus den drei Richtungsvektoren Vektoren s , t1 und t2 . Verstehst du den Namen KS sofort . Ich konnte ihn übrigens auswändig lange vor der MF .
Es gibt übrigens eine Denksportaufgabe bei dem Konkurrenzportal ===> Ly-cos bzw. Cos-miq . George Orwell hat ja nur den Telescreen voraus gesehen und nicht das Internet; deshalb gibt es bei ihm nur die " Unperson " und nicht das " Unportal "
Und Ly-cos ist genau das: ein Unportal, welches ich nicht zitieren darf. Aber ich bin doch nicht Bösental ...
Dort nämlich wurde gefragt; Ein Dreieck habe ß = 45 ° ; die Seitenhalbierende s ( b ) schneide b eben Falls unter 45 ° Gesucht: Alpha und Gamma . Mein KS blieb Konkurrenz los Sieger ...
Der Umkreis ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten; ich entscheide mich für m ( c ) so wie m ( b ) Dann muss ich wohl oder übel aritmetische Mittelwerte bilden
s1 := M ( c ) = 1/2 ( A + B ) = 1/4 ( 5 - 7 i ) ( 3a )
s2 := M ( b ) = 1/2 ( A + C ) = 7/4 i - 1/2 ( 3b )
s = s2 - s1 = 7/4 ( 2 i - 1 ) ( 3c )
( 3c ) ist die Differenz, die wir unter ( 2a ) bilden müssen.
Im nächsten Schritt im Zähler von ( 2b ) benötigen wir t2 . Zunächst der Richtungsvektor von c
b = C - A = 7 + 7/2 i = 2 + i = i ( 1 - 2 i ) ( 4a )
Richtungsvektoren dürft ihr umnormieren; das wisst ihr . Senkrecht Stehen wird immer ausgedrückt durch Multiplikation mit der imaginären Einheit i ; das ist ja das Schöne. wir dürfen richtig multiplizieren wie mit Zahlen .
t2 = i ( C - A ) = - ( 1 - 2 i ) ( 4b )
s / t2 = -7/4 ( 4c )
Jetzt stellt sich aber der Zähler von ( 2a ) als rein reell raus - hatt ich auch noch nie . Da steht aber, du sollst den Imaginärteil bilden - folglich ist der Null; der Parameter k1 verschwindet sang-und klanglos.
Was bedeutet das? Nicht nur unsere Lehrerin Frau Gumboldt hat uns dieses Kapitel ===> topologie systematisch vorenthalten ( Natürlich wurde ich erst wieder durch den KS zu Nachforschungen angeregt )
Der Mittelpunkt des Umkreises ist
1) innerer Punkt des Dreiecks <===> das Dreieck ist spitzwinklig
2) äußerer Punkt <===> das Dreieck ist stumpfwinklig
3) Beim rechtwinkligen Dreieck ist er Randpunkt ( auf der Hypotenuse ) und gleichzeitig Mittelpunkt des Thaleskreises
Denk nochmal nach; wenn k1 = 0 , heißt dies wohl oder übel, dass c die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Prüfen wir es nach. Ich mach erst mal die ganzen Bruchzahlen weg
A ' = ( - 8 | 0 ) ; B ' = ( 13 | - 7 ) ; C ' = ( 6 | 7 ) ( 5a )
a = 7 sqr ( 1 ² + 2 ² ) = 7 sqr ( 5 ) ( 5b )
b = 7 sqr ( 2 ² + 1 ² ) = a ( 5c )
c = 7 sqr ( 3 ² + 1 ² ) = 7 sqr ( 10 ) = a sqr ( 2 ) ( 5d )
Ist euch Schülern eigentlich bekannt, wie man diese Teiler aus der Wurzel zieht? Dass man sich nie mit einem ggt schleppt? Geübt habt ihr es ja; aber es hat auch einen durchaus guten Sinn.
