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Given n > 2 and reals $x_1 \leq x_2 \leq $ ... $ \leq x_n$, show that $(\sum i,j \vert x_i - x_j \vert)2 \leq \dfrac{2}{3} (n2 -1)\sum i,j (x_i - x_j)2$ . Show that we have equality if the sequence is an arithmetic progression. \\

EDIT(Lu): Gemeint ist zuerst x1x2...xnx_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n

und dann: (i,jxixj)223(n21)i,j(xixj)2(\sum _{i,j} \vert x_i - x_j \vert)^2 \leq \dfrac{2}{3} (n^2 -1)\sum _{i,j} (x_i - x_j)^2 

vgl. Kommentar jd139.

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Given n>2n > 2 and reals x1x2xnx_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n, show that 
(i,jxixj)223(n21)i,j(xixj)2.\left(\sum _{i,\,j} \left| x_i - x_j \right|\right)^2 \leq \frac{2}{3} \left(n^2 -1\right)\sum _{i,\,j} \left(x_i - x_j\right)^2.
Show that we have equality if the sequence is an arithmetic progression.

Staunte gerade über die zwei Wörter für "Folge" im gleichen Satz.

"Folge (sequence) ist "arithmetische Folge (progression)"  ?

offenbar ja: Vgl. https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression

1 Antwort

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Hi, erst mal der Fall, wenn xi x_i eine arithmetische Folge ist mit xi+1xi=Δ x_{i+1} - x_i = \Delta . Dann gilt folgendes

(1)[i,j=1nxixj]2=[2Δi=1n1j=1nij]2=Δ2n2(n21)29 (1) \quad \left[ \sum_{i,j=1}^n \left| x_i - x_j \right| \right]^2 = \left[ 2 \Delta \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=1}^{n-i} j \right]^2 = \frac{ \Delta^2 n^2 (n^2 - 1)^2 }{9}

Und es gilt

(2)i,j=1n(xixj)2=2Δ2i=1n1j=1nij2=Δ2n2(n21)6 (2) \quad \sum_{i,j=1}^n \left( x_i - x_j \right)^2 = 2 \Delta^2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=1}^{n-i} j^2 = \frac{ \Delta^2 n^2 (n^2-1) }{6}

Aus (2) folgt durch Multiplikation mit 23(n21) \frac{2}{3}\left( n^2-1 \right) , dass die beiden Ausdrücke (1) und (2) gleich sind.

Für nicht arithmetische Folgen schreib ich heute Abend was, jetzt ist es zu heiss und ich geh schwimmen.

Avatar von 39 k

Hi,
beide Seiten der Ungleichung sind translations invariant, d.h. ich kann xi x_i durch xia x_i - a ersetzen, und die linke und rechte Seite der Ungleichung ändert sich nicht. Wählt man a=1ni=1nxi a = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i dann folgt i=1n(xia)=0 \sum_{i=1}^n (x_i - a) = 0
D.h. man kann o.B.d.A annehmen das i=1nxi=0 \sum_{i=1}^n x_i = 0 gilt.

Die Differenzen xixj | x_i - x_j | sind symmetrisch und für i=j i = j gleich 0 0 , und xj>xi x_j > x_i für j>i j > i deshalb gilt

(1)i,j=1nxixj=2i<j(xjxi)=2i=1n(2in1)xi (1) \quad \sum_{i,j=1}^n | x_i - x_j | = 2\sum_{i \lt j} (x_j - x_i) = 2\sum_{i=1}^n (2i-n-1) x_i
Mit der Cauchy-Schwarzen Ungleichung folgt
(2)(i,j=1nxixj)24i=1n(2in1)2i=1nxi2=43n(n21)i=1nxi2 (2) \quad \left( \sum_{i,j=1}^n | x_i - x_j | \right)^2 \le 4 \sum_{i=1}^n (2i-n-1)^2 \sum_{i=1}^n x_i^2 = \frac{4}{3} n(n^2-1) \sum_{i=1}^n x_i^2

Für die rechte Seite gilt
(3)i,j=1n(xixj)2=ni=1nxi22i=1nxij=1nxj+nj=1nxj2=2ni=1nxi2 (3) \quad \sum_{i,j=1}^n (x_i - x_j)^2 = n\sum_{i=1}^n x_i^2 -2\sum_{i=1}^n x_i \sum_{j=1}^n x_j + n\sum_{j=1}^n x_j^2 = 2n\sum_{i=1}^n x_i^2

wegen i=1nxi=0 \sum_{i=1}^n x_i = 0

also gilt

(4)i=1nxi2=12ni,j=1n(xixj)2 (4) \quad \sum_{i=1}^n x_i^2 = \frac{1}{2n} \sum_{i,j=1}^n (x_i - x_j)^2
Jetzt (4) in (2) einsetzten und fertig.

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