komplexe Zahlen mit i/z

Question

z + 1 = i/z - i

Könnt ihr mir bitte einmal behilflich sein?

Comments

Wobei? ................

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Muss nach z lösen

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Wie (fast) immer bei solchen Gleichungen erstmal die Brüche beseitigen, hier also die Gleichung mit \(z\) multiplizieren. Dann hast du eine quadratische Gleichung, dafür gibt's eine Lösungsformel, oder du machst quadratische Ergänzung.

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Meinen Sie pq formel ?

Wenn ja habe ich versucht aber kriege irgendwie nicht hin weil ich kein q habe.

Answer 1

$$z+1= \frac{i}{z} - i \quad | \ \cdot z$$

$$z^2+z = i - iz$$

$$z^2+z + iz - i = 0$$

$$z^2 + (1+i)z -i=0$$

pq-Formel mit p = 1 + i und q = -i

$$z_{1,2} = - \frac{1+i}{2} \pm \sqrt{\frac{(1+i)^2}{4} +i}$$

$$z_{1,2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \pm \sqrt{\frac{1+2i-1}{4}+\frac{4i}{4}}$$

$$z_{1,2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \pm \sqrt{\frac{6i}{4}}$$

Mit $$\sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$$ ergibt sich:

$$z_{1,2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{1+i}{\sqrt{2}}$$

$$z_{1,2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \pm \frac{\sqrt{3}\cdot (1+i)}{2} $$

$$z_{1,2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \pm \left( \frac{\sqrt{3}}{2} +  \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)$$

$$ \Rightarrow \quad z_1 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i$$ $$ \Rightarrow \quad z_2 = \frac{-\sqrt{3}-1}{2} + \frac{-\sqrt{3}-1}{2}i$$

Habe jetzt mal extra viele Zwischenschritte gemacht, damit es einfacher ist, das Ganze nachzuvollziehen. ;)

Comments

  Was  ICH dir entscheidend voraus habe. Das ist die weit verbreitete Unsitte, Klammern aufzulösen, statt erst mal zusammen stehen zu lassen, was zusammen gehört.

    Der wesentliche Lerneffekt: Du bekommst ZWEI komplexe Lösungen a la " 1 + i "  , die also Phasenwinkel 45 °  C haben. die beiden Wurzeln unterscheiden sich effektiv nur in ihrem Betrag.

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Wie kommen sie auf wurzel aus i =1 + i / wurzel aus z in der mitte. Also da wo die geschrieben haben mit wurzel aus i = 1 + i / wurzel aus z ergibt: und wiesoo ??

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Es gilt $$i = e^{i \ \pi / 2 }$$ und damit $$\sqrt{i} = i^{1/2} = (e^{i \ \pi/2})^{1/2} = e^{i \ \pi/4} \ .$$ Wenn du dir $$e^{i \ \pi / 4}$$ in der komplexen Ebene anschaust https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28i+pi%2F4%29 , siehst du, dass du einen 45°-Winkel hast (bzw. das sieht man eigentlich auch schon an dem π/4 in der Formel). Darüber hinaus gilt $$e^{i \ \pi / 4} = cos( \pi / 4) + i \ sin( \pi / 4)$$

$$ = \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \ .$$

Dass der Sinus und Cosinus 1/√2 ergeben weiß man entweder, oder man leitet es sich schnell mit dem Satz des Pythagoras her. Dazu nimmst du einfach ein Dreieck, wobei die Hypotenuse = 1 ist (so wie bei dem Punkt in der komplexen Ebene im Link oben) und berechnest die Länge der beiden fehlenden Seiten.

Answer 2

  Geht, wie du das gelernt hast:

      z  +  1  =  i / z  -  i   |   *  z    (  1a  )

     z  ²  +  (  1  +  i  )  z  =  i  |  +  QE    (  1b  )

     Das ist eine quadratische Gleichung in z . Du machst das vielleicht mit der Mitternachtsformel; ich bin immer noch die ===> quadratische Ergänzung gewohnt. Wir ergänzen "  1/2 ( 1 + i ) "  ; Nebenrechnung: Was ist " ( 1 + i ) ² " ?

       (  1  +  i  )  ²  =  1  +  2  i  +  i  ²  =  1  +  2  i  -  1  =  2  i     (  2a  )

      [  z  +  1/2  (  1  +  i  )  ]  ²  =  3/2  i     (  2b  )     

     Bei dem Konkurrenzportal " Cosmic " war alles besser, weil ich da viel näher am Schüler gearbeitet habe. Da gab es einen Oberveraascher, der erkennbar nur seinen Mathelehrer rein legen wollte ( Der einzige Lehrer von mir, bei dem das nie klappte, war übrigens Scientologe; na muss doch was dran sein. )  Die Frage

   " Herr Lehrer; ich habe gehört, die Wurzel aus Minus Eins sei ' i '  Und? Was ist dann die Wurzel aus i? "

    Und mit der selben Veraaschungshaltung kam der dann nochmal zu Cosmic.

    Ich versuchte das zu tun, wozu ich hier ständig ermahnt werde: Kurze knappe Antworten. Mit dem Erfolg

   "  Was du mir schreibst, versteh ich gar nicht; mein Lehrer hat mir gesagt, ich soll das anders machen. Was hältst'n von dem Vorschlag ... ? "

    Aber jetzt im Ernst; ist das Hauptmotiv hinter deiner Frage, dass ich dir erst beibringen muss, wie man die Wurzel aus i zieht? Ich kenn dich ja nicht. Zunächst mal gibt es da den ===> Fundamentalsatz der Algebra; der ===> Zahlenkörper |C ist algebraisch ===> abgeschlossen. Das Polynom

      p  (  z  ;  i  )  :=  z  ²  -  i  =  0    (  3  )

      ist lösbar; besitzt eine ( komplexe ) Wurzel. Das ist zunächst nix weiter als eine reine Existenzaussage; ein Verfahren, wie man diese Wurzel findet, ist damit nicht verknüpft.

     Fragen wir doch mal ganz anders. Kennst du die ===> Polardarstellung der komplexen Zahlen?

         z  =  r  [  cos  (  ß  )  +  i  sin  (  ß  )  ]    (  4a  )

         z1;2  :=  r1;2  [  cos  (  ß1;2  )  +  i  sin  (  ß1;2  )  ]    (  4b  )

        Und zwar hast du in ( 4b ) zwei verschiedene komplexe Zahlen mit jeweils verschiedenem Betrag und Phase. Was passiert jetzt, wenn du diese beiden Zahlen miteinander multiplizierst?

     z1  z2  =  r1  r2  [  cos  (  ß1  )  cos  (  ß2  )  -  sin  (  ß1  )  sin  (  ß2  )   +        (  4c  )

                        +  i  (  sin  (  ß1  )  cos  (  ß2  )  +  cos  (  ß1  )  sin  (  ß2  )  )  ]       (  4d  )

                 =  r1  r2  [  cos  (  ß1  +  ß2  )  +  i  sin  (  ß1  +  ß2  )       (  4e  ) 

     und zwar ( 4e ) auf Grund der beiden ===> Additionsteoreme ( AT )

    Die Beträge MULTIPLIZIEREN sich; und die beiden Phasen ADDIEREN sich.

    Das sieht doch ganz verdächtig danach aus, dass die Phase ===> logaritmischen Rechengesetzen folgt.

    Das ist jetzt ein typischer ===> Mausefallenbeweis a la ===> Artur Schopenhauer;  weil du mir den Gebrauch der AT nicht versagen kannst, die ansonsten zu gar nix nütze sind, verschwören sich die beiden Phasen  magisch wie von Geisterhand; und wenn wir uns nicht verrechnet haben, kommt sogar das Richtige raus.

   Wenn sowas passiert in der Mathematik, ist das immer ein Zeichen, dass wir etwas nicht verstanden haben.  Das Ganze löst sich trivial über den ===> Satz von Euler

      exp  (  i  ß  )  =  cos  (  ß  )  +  i  sin  (  ß  )     (  5  )

     Und auf einmal leuchtet auch dieses logaritmische Gesetz ein.  Nächster Schritt: Was passiert, wenn ich eine komplexe Zahl quadriere? Ihr BETRAG ist zu quadrieren; die PHASE VERDOPPELT sich .

   Und beim Wurzel Ziehen? Machen wir es umgekehrt; aus dem Betrag ziehen wir die Wurzel. Und der Phasenwinkel wird halbiert.  In ( 2b ) ist demnach zu setzen

       i  ^ 1/2  =  cos  (  Pi / 4  )  +  i  sin (  Pi / 4  )  =  (  1  +  i  )  /  sqr  (  2  )     (  6a  )

      Dann erhältst du in ( 2b )

         z  +  1/2  (  1  +  i  )  =  +/- ( 1/2 )  (  1  +  i  )   sqr  (  3  )      (  6b  )

         z1;2  = ( 1/2 )  (  1  +  i  )  [  - 1  +/-  sqr  (  3  )  ]    (  6c  )

    Weißt du überhaupt aus dem Reellen, wie man die Probe auf eine quadratische Gleichung  wie ( 1b ) macht? Satz von Vieta

    p  =  z1  +  z2  =  -   (  1  +  i  )     (  7a  )     ;  okay

   q  =  z1  z2  =  1/4  (  1  +  i  )  ²  (  1  -  3  )   =     (  7b  )

                      =  1/4  *  2  i  *  (  -  2  )  =  (  -  i  )     (  7c  )

    PS; Epilog. Ich fand ein Internetportal; da sind Witze drin über Matematik. Nur zwei fand ich wirklich erwähnenswert; den schlechteren von beiden will ich dir heut erzählen. im Zusammenhang mit ( 5 ) wird doch Tatsache bewiesen, dass die e-Funktion konstant ist. Der Beweis beruht auch wieder auf Mausefallentricks, denen ( scheinbaar ) niemand widersprechen kann; die aber jeder für sich wirken wie das berühmte Kaninchen, das man aus dem Hut zaubert.

   Zu jeder reellen Zahl x gibt es ein y , so dass

          x  =  2  Pi  y     (  8a  )

    (  Wehe du gibst mir das nicht zu. )

       exp  (  i  x  )  =  exp  (  2  Pi  i  y  )   (  8b  )  ( ist wahr wegen ( 8a ) )

      exp  (  2  Pi  i  y  )  =  [  exp  (  2  Pi  i  )  ]  ^  y     (  8c  )

      exp  (  2  Pi  i  )  =  1    (  8d  )   ( Steht in jedem Lehrbuch; vgl. ( 5 )  )

     Wenn du jetzt ( 8d ) in ( 8c ) einsetzt, kommt wegen ( 8a ) Summa Summarum raus

       exp  (  i  x  )  =  1  ^  y  =  1  =  const  ; wzbw