Gleichung nach Winkel auflösen

Question

Folgende Gleichung soll ich nach dem Winkel α auflösen, wobei es mehrere Lösungen geben kann:

cos(α)² = tan2(α)/tan(α)

Ich weiss, dass tan2(α) = 2tanα/(1-tan(α)²) ist. Mithilfe dieser Gleichung erhielt ich cosα=√(3/2)

Wenn ich den Arcuscosinus von √(3/2) ausrechnen möchte, erhalte ich die Meldung, dass es sich um keine reelle Zahl handelt. Kann ich daraus schliessen dass α 90° und 270° betragen muss, da der Tangens von diesen beiden Winkeln nicht definiert ist?

Comments

Woher hast du diese Klammerungen?

Was rot ist, ist unübliche Schreibweise und wird einige Leute / Korrektoren bei Prüfungen irreführen.

cos(α)² = tan2(α)/tan(α)

Ich weiss, dass tan2(α) = 2tanα/(1-tan(α)²) ist.

Üblicher wäre 

cos^2(α) = tan(2α)/tan(α)

Ich weiss, dass tan(2α) = 2tanα/(1-tan^2(α)) ist.

wie es hier geklammert ist: https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen

Answer 1

cos(α)² = tan2(α)/tan(α)  = (2tan(a) / 1 - tan^2(a) ) / tan(a)    =  2 /  ( 1 - tan^2(a) )

cos(α)² * ( 1 - tan^2(a) )  =  2

cos(α)²  -  sin(a)^2 = 2   =  1 + 1 =  1 + cos(α)²  +  sin(a)^2     | - cos(α)²

-  sin(a)^2 =   1   + sin(a)^2

-2 * sin(a)^2= 1

sin(a)^2= -2

also keine Lösung.  siehe Graph:

~plot~sin(x)^2 ; tan(2*x)/tan(x)~plot~

Comments

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. siehe :
diene Rechnung , mathef ->

 

-2 * sin(a)²= 1   .......... =>

       sin(a)²= -2   ........  Super ! gibt +1 Punkte ..



Nebenbei, Gast jb135 :
 
der Ausdruck ->   (cos α)² = tan(2*α) /tan(α)
ist NICHT definiert für
 alle Winkel, für die der Nenner ->  tan(α) gleich NULL wird
(egal, ob du nachher tan(2α) ersetzt und mit tan α  kürzt..)

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Gast bh855

Das der Ausdruck nicht definiert ist, wenn der Nenner 0 ist, ist mir klar.

Aber die Lösung für diese Aufgabe lautet 90° und 270° und ich bin mir nicht sicher, ob meine Überlegungen dazu richtig sind.

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                           (cos α)² = tan(2*α) /tan(α)

 Aber die Lösung für diese Aufgabe lautet 90° und 270° 

.......... -> NEIN - diese Behauptung ist schlicht falsch

und ich bin mir nicht sicher, ob meine Überlegungen dazu richtig sind. 

-> dazu brauchst du keine weiteren Überlegungen anstellen ->

es genügt festzustellen, dass für diese Werte die rechte Seite

der Gleichung gar nicht definiert ist .. also können 90° und 270°

auch nicht Lösungen dieser Aufgabe sein  .. fertig

Anmerkung::

es könnte höchstens sein, dass die zu untersuchende Aufgabe

zu Beginn noch etwas anders aussah ??

Für diesen Fall: wie war der Originaltext der Aufgabe? -> ....

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Also hier mal die Aufgabenstellung genau abgschrieben:

Lösen Sie die goniometrische Gleichung nach dem Winkel α auf; es kann auch mehrere Lösungen geben.

G={α | 0° ≤ α ≤ 360°}

Und die Aufgabe:

cos²α = tan2α / tanα

Die dazu gehörige Lösung lautet:

L = {90;270}

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cos²α = tan2α / tanα

Die dazu gehörige Lösung lautet:

L = {90;270}   NEIN !

alles klar -> deshalb nochmal: ->

für    cos²α = tan2α / tanα   gibt es KEINE Lösung ->

- und: klar warum !..dh : kein α erfüllt die Gleichung ..

garantiert !

,

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Naja, dann muss wohl in der Lösung ein Fehler sein..

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 cos²α = tan2α / tanα


noch eine kleine Ergänzung: ->

es exisiert zB bei  -> α = 90° kein Funktionswert für f(α) =  tan2α / tanα


aber es exitiert jedoch für   α -> pi/2  der Grenzwert -> lim f(α) = 0

also: durch Hinzunahme von f(pi/2)= 0 könntest du f bei pi/2 stetig ergänzen


nur wenn diese Erweiterung  hinzugenommen würde, dann hätte
die Gleichung die erwähnten Lösungen
ABER nochmal:

diese Gleichung ->  cos²α = tan2α / tanα
hat als solche KEINE Lösung...

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Und wie würdest du mithilfe dieser Erweiterung die beiden Werte berechnen?