Zeigen Sie, dass f gleichmäßig stetig ist.

Question

brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Es sei f : ℝ → ℝ eine stetige Funktion, so dass die Grenzwerte $$\lim _{ x\rightarrow \pm \infty  }{ { a }_{ \pm  } }$$ ∈ ℝ existieren. Zeigen Sie, dass f gleichmäßig stetig ist.

Danke schon mal für die kommende Hilfe :)

EDIT: 

Sorry, das soll


f(x)=  $$\lim _{ x\rightarrow \pm \infty  }{ { a }_{ \pm  } }  $$ ∈ℝ

bedeuten. Hat eben wohl nicht so ganz geklappt.

Comments

Du hast die Aufgabe nicht richtig eingestellt !

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Keine  Ahnung was Du meinst.

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Sorry, das soll


f(x)=  $$\lim _{ x\rightarrow \pm \infty  }{ { a }_{ \pm  } }  $$ ∈ℝ

bedeuten. Hat eben wohl nicht so ganz geklappt.

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Und was soll das bedeuten????

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Weiß ich ja nicht, das ist die ganze Aufgabe :D

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Also das was Du da geschrieben hast macht doch keinen Sinn. Das sind sinnlose Zeichen ohne Zusammenhang. Mach Dich doch mal schlau, was die Aufgabe wirklich ist. Ich kann doch nicht hellsehen.

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Ich hab mir letztens eine von pleindespoir empfohlene Glaskugel bestellt. Diese zeigt mir, dass eventuell gemeint ist:

Funktion f ist stetig und es existieren die Grenzwerte der Funktion für x gegen plus-minus unendlich (sprich f ist beschränkt).

Also:

$$ \lim \limits_{x \to \infty} f(x) = a_+ \in \mathbb{R} , \quad  \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = a_- \in \mathbb{R} $$

Ich würde doch den Fragesteller bitten zu klären, ob die Glaskugel funktioniert oder ob ich sie zurück schicken soll.

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Und was bedeutet dann \( a_{+} \)

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Die Glaskugel könnte Recht haben :D

Versuche jetzt nochmal die Aufgabe so wie sie da steht hinzuschreiben :) und lade es auch hoch.Ueb101.pdf (0,1 MB)

Es sei f : ℝ→ℝ eine stetige Funktion, so dass die Grenzwerte f(x)= $$ \lim _{ x\rightarrow \pm \infty  }{ { a }_{ \pm  } }  $$ existieren. Zeigen Sie, dass f gleichmäßig stetig ist.

Danke für eure Mühe

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Also ich verstehe das nicht und klinke mich aus dem Thread mal aus. Ich würde den Aufgabensteller aber mal  fragen ob er das nicht mal exakt formulieren kann. Das ist doch das mindeste was man erwarten kann. Tschüss.

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Ullim ich denke das plus und minus beim a bedeutet, dass die grenzwerte nicht gleich sein müssen. Anstatt 2 buchstaben zu verwenden wurden einfach die vorzeichen als index gewählt.

Answer 1

Eine etwas andere Beweisidee nutzt den Fakt, dass jede stetige Funktion auf einem Kompaktum auch gleichmäßig stetig ist. Dazu wird die Funktion so "transformiert", dass sie statt auf den reellen Zahlen nur noch auf einem kompakten Intervall definiert ist.

Man definiere die Funktion

$$g:[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ] \rightarrow \mathbb{R}, ~ g(x)=\begin{cases} f(\tan x), ~ x\in ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) \\ a_{\pm}, ~ x=\pm \frac{\pi}{2} \end{cases}. $$

Die Funktion \(g\) entspricht in gewisser Weise \(f\), ist jedoch transformiert. Der Tangens ist surjektiv auf dem Intervall \( ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) \) und hat bei \( \pm \frac{\pi}{2} \) jeweils eine Polstelle. Durch \( a_\pm \) wird die Funktion also stetig fortgesetzt, da \(a_\pm \) gerade die Grenzwerte der stetigen Funktion \(f\) für \(x\rightarrow \pm \infty\) sind. Da \(g\) auf einem Kompaktum definiert und stetig ist, ist \(g\) auch gleichmäßig stetig. Daraus folgt nun die gleichmäßige Stetigkeit von \(f\), wie im folgenden gezeigt wird.

Dazu bemerke man zunächst, dass wegen \(\text{arctan}'(x) = \frac{1}{1+x^2} \leq 1\) mit dem Mittelwertsatz die Ungleichung

$$ |\text{arctan}(x) - \text{arctan}(y)| \leq |x-y|  \tag{1} $$

folgt.

Sei nun \(\epsilon > 0\) beliebig. Da \(g\) gleichmäßig stetig ist, existiert ein \(\delta > 0\), das nur von \(\epsilon\) abhängt, sodass gilt:

$$ |x-y| < \delta \quad \Rightarrow \quad |g(x)-g(y)|<\epsilon . \tag{2}$$

Es seien nun \(x,y \in \mathbb{R} \) mit \(|x-y| < \delta\). Wegen \( (1) \) ist dann insbesondere \( |\text{arctan}(x) - \text{arctan}(y)| < \delta \) und mit \( (2)  \) folgt

$$ |f(x)-f(y)| = |g(\text{arctan}(x)) - g(\text{arctan}(y))| < \epsilon. $$

Comments

Ich selbst machte dem Fragesteller übrigens den Vorschlag, die Situation auf der Zahlenkugel zu beleuchten; der Nordpol entspräche dann dem unendlich fernen Punkt. Allerdings nur eine unfertige Beweisskizze; es bliebe zu klären, wie man die beiden Punkte Plus und Minus Unendlich voneinander unterscheidet.

Dein Beweis kommt der NSA wohl so nahe wie irgend möglich  - vergleichen wir. Wer hat die Klarheit; die Einfachheit auf seiner Seite? Ohne die Genialität deines Ansatzes im Mindesten zu schmälern.

Als Hilfskonstruktion bedarfst du der kompakten Menge, weil du ansonsten nicht wüsstest, dasss deine Funktion auch gleichmäßig stetig ist - was ja zu zeigen war. Bei mir hingegen wirst du das Wort " kompakt " vergebens suchen. Wäre es nicht so paradox, Nelsons Ideen als klassisch zu bezeichnen, Nelson hat einen geradezu " klassischen " Beweis vorgelegt, dass auf einer kompakten Menge k jede stetige Funktion auch gleichmäßig stetig ist.

Aber es ist nicht das Thema; und Nelson duldet keine Abschweifungen. Er ist stets " straightforward "

Du könntest es auch anders sagen: Ein normaler Matematiker muss sein Memory mit dieser Aussage über kompakte Mengen belasten; du weißt ja nie, wann du es mal wieder brauchst. Bei Nelson kannst du sicher sein: NIE mehr wirst du es brauchen ...

Der nächste Schritt gemahnt an den ===> Mausefallenbeweis von ===> Schopenhauer. Die Transformation klappt, weil ich dir das Recht auf die Arcus Tangens Funktion nicht bestreiten kann. Ein voll sachfremdes Argument; was bitte schön, hat diese Aufgabe mit einem ( geometrischen ) Winkel zu tun? Zugegeben; es gibt in der Analysis echte Zumutungen; da will ich mal nix gesagt haben.

Jetzt kommt ein Passus; wie oft war ich selber im ersten Semester irritiert. Du hast also den Beweis geführt in dem Intervall

P  :=  Pi/2  [  -  1  ;  1  ]    (  1  )

Um es mal in der Sprache der Matematiker zu sagen; gleichmäßige Stetigkeit " vererbt " sich nicht von P auf |R . Zu Mindest bedarf es näherer Begründung.

Da kommt jetzt der Psychoreflex auf; alles empört sich in mir. " Ei zu was " haben wir dann allererst eine kompakte Menge eingeführt?

Mit dem Mittelwertsatz ( MWS ) argumentierst du; sicher nicht falsch. aber die Ausgangsfunktion braucht ja in keinem Punkt differenzierbar zu sein. Spätestens hier geht etwas in den Beweis ein, was nicht ganz sauber aus den Voraussetzungen abgelitten ist.

Versteh mich bitte recht; ich sage natürlich nicht, dass dein Beweis falsch ist. Er ist nur wie ein Aufsatz, der nicht transparent gegliedert ist; springt mal hierhin, mal dorthin.

Und Nelson sagt sogar, das muss so sein. Denn bekanntlich mühte sich Weierstrass, die Analysis auf eine axiomatisch saubere Grundlage zu stellen. Der Preis: Dioese Epsilontik; das Erfordernis, für beinahe jeden Beweis eine eigene Ungleichung zu esinnen. Da ist dein Beweis eher noch harmlos dagegen.

Die NSA dagegen geht an dieses Problem völlig geradlinig heran; keine Transformation.

Was ist zu zeigen? Eine Funktion

y = F ( x )  ist gleichmäßig stetig auf |R  <===>  (V)  x  F (  x  )  inf stetig   (  2  )

eine ===> implizite Definition ; für die NSA wird gleichmäßige Stetigkeit zu einer Punkt weisen Eigenschaft.

Nun gibt es zwei Klassen von Zahlen; begrenzte ( " limited " ) und unbegrenzte.

( Dass eine einzelne reelle Zahl beschränkt ist ( " bounded " ) ist ja trivial; dass sie begrenzt ist, ist es nicht. )

Eine Funktion y = F ( x ) ist stetig in X0  <===> Sie ist inf stetig in X0

Mit einer Formel aus dem Lehrbuch von Alain Robert machst du daraus ziemlich schnell

(V) x € |R  F  (  x  )  stetig  <===>  (V)  begrenzten  x  |  F  (  x  )  inf  stetig   (  3  )

D.h. die Voraussetzung der Stetigkeit geht in die begrenzten Zahlen.

Was jetzt nahe lag: Das ===> Robinsonlemma für konvergente Folgen.

Ich wusste ja zunächst auch nicht; aber die NSA gab mir den Mut, es mit einem Beweisansatz zu versuchen.

So paradox es klingen mag; NSA verlangt dir immer Rechenschaft über die letzten Dinge ab.

In deinem Beweis finde ich etliche Hilfskonstrukte - nur eines nicht:

die Definituion, was das bedeutet:  f  ( °°  )

Und ICH kam eines Tages dahinter, dass ich genau ohne diese Definition nicht weiter komme ( Um solche Kleinigkeiten kümmert sich Alain Robert nicht. )

Zu jedem € > 0 gibt es x0 > 0 , so dass für x > x0 der Abstand von f ( x ) zu a  kleiner als € wird.

eine Aussage analog der klassischen ( € ; n0 ) Definition für den Grenzwert ( aus der übrigens das Robinson-Lemma folgt. )

Und aus meiner ( € ; x0 ) Definition folgt ganz analog Robinson durch Transfer:

Für jedes unbegrenzte x ist

[   F  (  x  )  ] *  =  A    (  4  )

Answer 2

Ich selbst bin Fan der ===> NSA ; IST ( Non-Standard Analysis ) von ===> Edward Nelson. Ich hoffe, auch in dir einen Fan zu gewinnen.

Da wir hier das volle Programm benötigen  ===> Transferaxiom , kann ich mich nicht lange mit großen Erläuterungen aufhalten; ich bin aber gerne behilflich, wenn du dich in den Stoff vertiefen willst. Ein ausgezeichnetes Lehrbuch ist Alain Robert bei Wiley.

Seit meinem Studium bin ich Analysis eher aus dem Wege gegangen; denn im Gegentum zu AGULA steht hier nicht das ehrliche gerade logische Denken im Vordergrund, sondern allerhand kryptische Schmuddeltricks mit Ungleichungen.

Seit Nelson macht mir Analysis richtig Freude.

Zwei Konventionen vorweg, um Missverständnissen vorzubeugen.

Wann immer wir NSA treiben, sollen Großbuchstaben alleine Standardobjekten vorbehalten bleiben.Und griechische Buchstaben bedeuten inf(initesimale) Größen.

Definition 1   ( inf Stetigkeit )

============================

Eine Funktion y = f ( x )  heiße inf stetig im Punkt x0 , falls

f  (  x0  +  €  )  =  f  (  x0  )  +  µ        (  1a  ) 

Eine inf Änderung in x zieht eine höchstens inf Änderung in y nach sich . Mit dem Symbol

a  (  =  )  b  |  b  -  a  =  €  =  inf  (  1b  )

kannst du das auch so schreiben:

x1  (  =  )  x2  ===>  f  (  x1  )  (  =  )  f  (  x2  )   (  1c  )

Satz 1

===========

y  =  F  (  x  )  ist stetig in X0 <===>  F ist inf stetig in X0

Bei Alain Robert findest du das so schön dargestellt über den Schatten x* einer begrenzten Zahl x :

F  (  x*  )  =  [  F  (  x  )  ]  *    (  2  )

Satz 2

============

Eine Funktion y = F ( x ) ist gleichmäßig stetig auf der Menge M  <===>   Sie ist inf stetig auf M .

Damit ist die gleichmäßige Stetigkeit auf eine Punkt weise eigenschaft zurück geführt.

Was ich so gerne vorschlage als Übungsaufgabe zum warm Laufen: Warum ist jede gleichmäßig stetige Funktion auch stetig, aber nicht umgekehrt?

Wenn sie gleichmäßig stetig ist, ist sie in allen x inf stetig. Doch nur für X folgt  dann auch Stetigkeit. Da rettet uns Transfer

(V)  X  F  stetig  ===>  (V)  x  F  stetig     (  3a  )

NSA ist Case Sensitive; Schwarzweiß Analysis ist es nicht.

Und jetzt der Umkehrschluss; Stetigkeit für alle x bedeutet insbesondere Stetigkeit für alle X . für X folgt aber inf Stetigkeit; also wende ich wieder Transfer an

(V)  X  F  inf stetig  ===>  (V)  x  F  inf stetig  ===>  F  gleichmäßig stetig       (  3b  )

Solcher Art Transfer ist aber verboten; jemand, der noch nie von Nelson gehört hat, könnte die Verständnisfrage stellen

" Und was bitte, ist ' inf ' ? "

Hilberts Diktum

" Man muss jeder Zeit statt Punkt, Gerade, Ebene auch Tisch, Stuhl, Bierkrug sagen können. "

Nelson hat es aufgegeben. Seine Analysis ist einfach um den Preis,  dass du dir Rechenschaft ablegen musst um den Sinn deines Tuns ( was ich übrigens manchem Zeitgenossen raten würde. )

Ganz typisch arbeitet Nelson nur mit ganz wenigen Klassen: die inf Zahlen, die Standardzahlen, die begrenzten, die unbegrenzten.   Wir müssen zeigen: F ist inf stetig auf ganz |R

Jetzt wird es sehr übersichtlich; sei x zunächst begrenzt ( englisch:  " limited " ) An dieser Stelle nutzen wir nur die Stetigkeit aus ( Stetigkeit auf GANZ |R wirkt sich nur für Standardzahlen aus. )

Sei also x1 ( = ) x2 .

x2  (  =  )  x1  ;  x1  (  =  )  x1*  ===>  x2  (  =  )  x1*     (  4  )  

D.h. aus der Stetigkeit ( 2 ) folgt ganz allgemein die inf Stetigkeit ( 1c )

Gewonnen haben wir damit allerdings noch nichts; denn so etwas wie die " Menge aller begrenzten Elemente " gibt es bekanntlich nicht. Wie pfriemeln wir den Beweis für unbegrenzte x zusammen? Und hier nun kommt die Grenzwertbedingung ins Spiel.

Was genau bedeutet

lim x  ===>  (  °°  )  f  (  x  )  =  a      (  5a  )

Wir brauchen ganz typisch so etwas Ähnliches wie eine " Umgebung des Unendlichen "  ( Versuch doch mal den Beweis auf der Zahlenkugel; die ist ja kompakt. )

Zu jedem e gibt es x

(V)  e  >  0  (E)  x0  =  x0  (  e  )  |  x  >  x0  ===>  |  f  (  x  )  -  a  |  <  e     (  5b  )

Und nun überleg dir bitte, dass folgender Transferschluss korrekt ist:

(V)  E   (E)  X0  =  X0  (  E  )  |  x  >  X0  ===>  |  F  (  x  )  -  a  |  <  E     (  5c  )

In ( 5b ) hast du die typische ( dynamische ) Wette.

" Verkleinere e , und ich übertreffe mein Angebot für x0 . "

Mein Prof witzelte

" Ein  beliebiges, aber konstantes Epsilon - das habe ich nie verstanden ... "

Dagegen in ( 5c )  wird etwas Statisches ausgesagt: Ein einziges x sei größer als alle X0 ; eben unbegrenzt .  Dann ist der Abstand von F ( x ) zu dem Grenzwert kleiner als alle E , eben inf .

Seien x1 und x2 zwei ( positiv ) unbegrenzte Zahlen; dann gilt ( Der Grenzwert a = A ist Standard ! )

[  F  (  x1  )  ] *  =  F  [  (  x2  )  ] *  =  A    (  6a  )

F  (  x1  )  (  =  )  F  (  x2  )     (  6b  )

Und zwar erst recht, wenn

x1  (  =  )  x2   (  6c  )

Comments

Hi, Ich weiss, dass Du ein Fan der NSA bist. Aber musst Du das in jeder Antwort schreiben. Das ist hier ja schon common sense. Ich bin übrigens Fan von MAD und BND und schreibe das ja auch nicht immer.

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Da ich nicht jeden kennen kann, muss ich genau das machen, was du  ( hoffentlich ) schon im matematischen Kolloquium erlebt hast. Da kommt also Freitag Abend um 18 h - alle denken schon ans Wochenende - ein Prof; der hat das Thema ( Ich erfind jetzt mal was )

" Halbzyklische seminormale toroidale über lokalen Körpern "

Bisher hat nicht mal der begabteste Prof davon gehört, dass es sowas überhaupt gibt.

Der Schrat hat aber nur zwei Stunden Redezeit. Zunächst einige Definitionen.

Um sich als Platzhirsch möglichst riesig zu präsentieren, kommt als Nächstes, was wir auf seinem Spezialgebiet als " Trivialität " anzusehen haben; denn dagegen wird sich dann seine eigene Genialität um so leuchtender abheben.

Dann einige " typische " Beweisverfahren; gefolgt von Geistesblitzen, die - folgt man seinen Angaben - eben doch phänomenale Entdeckungen darstellen.

Ein Beispiel aus seiner eigenen Arbeit.

Die ungelösten rätsel, die in seinem Feld den Status der Riemannschen Vermutung haben oder so - was weiß ich.

Und dann als krönender Abschluss: Er hat eines dieser Welträtsel gelöst ...

Noch Fragen? Allenthalben lange Gesichter ...

Na da befinde ich mich doch in bester Gesellschaft. Nelson selber zitiert immer jenen Witz

" Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt über die komplexe Ebene. "

Na siehste doch; ich  habe mich wirklich auf deine Aufgabe beschränkt - die hier übrigens schon einmal kam.

Schau doch mal, wie sauber der Stoff gegliedert ist. Wir müssen zeigen: Inf stetig auf ganz |R .

Für begrenzte Zahlen folgt das aus der gewöhnlichen Stetigkeit.

Und für unbegrenzte aus der Grenzwertbedingung.

Das mit der Transferformel schien mir dann doch unvermeidlich, weil ich etwas benutzen musste, was original so bei Alain Robert nicht vorkommt.

Wenn du dir mal überlegst, dass es bald 150 Jahre dauerte von den Arbeiten eines Weierstrass, bis dass da seriöse Lehrbücher zur Hand waren. Na kannste dir denken, wie lange es dauert, bis da eine kritische Masse an Profs  zusammen gekommen ist, die sich der Mühe jnterziehen, seriöse Lehrbücher über NSA zu schreiben.

Ach ja; wir sagten doch: Zum Schluss meine eigene Genialität.

Schau dir doch mal an, wie chaotisch die Beweise des Satzes von ===> Heine-Borel gehen.

Eine Endlichkeitsaussage, aus der er folgen würde, ist mir bis Heute nicht bekannt geworden.

Ganz anders Nelson; der braucht gar keinen Heine-Borel.

Aber einer seiner Lehrsätze gleich im Einführungskapitel schreit förmlich nach Heine-Borel.

Seit es mir gelungen ist, den ganzen Beweis übersichtlich im Kopf zu machen, bin ICH Nelsons Mann.

Man muss auch mal bereit sein, auf Argumente kluger, verständiger Leute zu hören.

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bin an der selben Aufgabe und habe leider nichts verstanden was man machen muss, bzw. wie das gehr. Könnte das nun jemand kurz sagen ?

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godzilla: "Man muss auch mal bereit sein, auf Argumente kluger, verständiger Leute zu hören"
OK Sportsfreund, dann hör jetzt mal auf meine =========> Argumente.Die Leute, die hier Fragen stellen sind zum größten Teil =====> Schüler und ======> Studenten. Diese Personengruppen werden in der Lehre mit =======> Standardanalysis konfrontiert und auch Aufbaumodule basieren darauf. Dementsprechend müssen diese Leute gezwungenermaßen Standardanalysis lernen und da sie eben dies tun, sind deine Antworten de facto nutzlos und purer Spam.Es ist schön, wenn du auf NSA stehst, aber es benötigt hier eben keiner. Bei Fragen, wie z.B. "Welche mathematischen Teilgebiete sind interessant?" kannst du ja gerne mit deiner alten Leier ankommen, aber bei einer Frage wie hier ist es einfach völlig unangebracht und vergleichbar mit folgendem Szenario: Du fragst nach der Uhrzeit und ich empfehle dir daraufhin, einen neuen Rasenmäher zu kaufen und zeige dir ganz stolz, wie toll meiner doch funktioniert.Lass diesen Quatsch bitte einfach, du verwirrst die sowieso überforderten Studienanfänger noch zusätzlich und verschwendest ihre so wie deine eigene Zeit beim Verfassen dieser Antworten.

Answer 3

Nach Heine-Borel ist die Einschränkung von f auf jedes Intervall [a,b] gleichmäßig stetig.

O.B.d.A. ist $$a_+=0$$.

Wir wählen b so, dass $$|f(x)|< \epsilon /2$$ für x>b. (Das geht wegen der Konvergenz.)

Dann ist $$ |f(x)-f(y)|< |f(x)+|f(y)| < \epsilon $$ für alle x,y > b

Analog für -unendlich.