Kurve in Polarkoordinatenform gegeben.......-> Parameterfreie Form

Question

Interessehalber würde mich interessieren, wie man eine Kurve, die in Polarkoordinatenform gegeben ist in eine Parameterfreie Form (nach F(x,y)=0) umstellt. Mir fällt dazu spontan keine Lösungsschritte ein und das Internet hat diesbezüglich auch nicht so viel parat...

Eine Polarkoordinatenform wäre z.B.:

s=s(φ)=cosφ-sinφ mit φ∈[0,2π)

Ihr könnt aber natürlich auch eine andere Aufgabe nehmen, mir geht's vor allem um das Prinzip :)

Comments

Kannst du mal die Aufgabe abfotografieren. Momentan ist das für mich noch keine Parameterdarstellung einer Kurve.

Answer 1

Ich interpretier mal so: das s(φ)=cosφ-sinφ mit φ∈[0,2π)bedeutet:

Auf einem um φ gegen die positive  x-Achse gedrehten Leitstrahl ist der

entsprechende Punkt P genau cosφ-sinφ vom Nullpunkt entfernt.

Dann sieht das so aus

Und die Strecke OP hat die Länge r = cosφ-sinφ.

Und du willst eine Darstellung in der Form F(x,y) = 0.

Das wäre so  (Pythagoras)  r^2 =  (cosφ-sinφ)^2 = x^2 + y^2   

1 - 2 sin(φ)*cos (φ)= x^2 + y^2

außerdem hast du cos (φ)= x/r   und sin (φ)= y / r    einsetzen gibt

1   -   2 * x * y  / r^2 =  x^2 + y^2     |*r^2

r^2 - 2xy  =  r^4

-2xy = r^4 - r^2 =  r^2 * ( r^2 - 1 )

0 = (x^2 + y^2 ) * ( x^2 + y^2 - 1 ) + 2xy

Dann wäre F(x,y) = (x^2 + y^2 ) * ( x^2 + y^2 - 1 ) + 2xy