Holomorphe Funktion mit Eigenschaft. Polstellen?

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{C} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{C} \) holomorph und es gelte \( \oint_{|z|=r} f(z) d z=0 \) für alle \( r>0 \).

(a) Kann 0 eine Polstelle erster Ordnung sein?

(b) Kann 0 eine Polstelle mit Ordnung \( k \geq 2 \) sein?

(c) Kann 0 eine wesentliche Singularität sein?

Ansatz/Problem:

Habe schon versucht das Integral umzuformen, sodass ich letztlich

0=[F(r)-F-(r)] von 0 bis 2*PI

erhalte.

Weiß aber auch nicht,was ich hiermit anfangen kann. Was hat die Eigenschaft mit dem Integral mit den Polstellen zu tun?

Comments

Habt ihr Cauchy's Integralsatz oder Residuuensatz o.ä. schon gemacht?

---

Ja.
Inwiefern kann ich diese auf Polstellen anwenden?

Answer 1

Nach Residuuensatz ist damit Res(f;0)=0. (Die 0 die einzige Zahl ist, die innerhalb eines jeden Kreises um 0 liegt.)

Nach Definition von Residuum als Koeffizient von x^{-1} in der Laurentreihe kann a) nicht gelten, b) und c) sehr wohl.