Grenzwert von (n! + 2^n)/n! und 2*(1-3/4)^n

Question

Ich sag schon mal

Wie schon gesagt es geht um den Grenzwert von
lim n -> unendlich:
$$\frac { n!\quad +\quad { 2 }^{ n } }{ n! } $$Rauskommen soll "1" allerdings versteh icht wie das gehen soll. Wird hier "!n" ausgeklammert ? wohl eher nicht... ich komm da nicht weiter!
und nächster Problemfall:
lim n-> unendlich:$$2*{ (1-\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ n }$$
Rauskommen soll "2e^{-3}""e" ist ja definiert durch (1 + x/n)^{n} allerdings kann ich damit im moment auch nicht wirklich was anfangen.Wenn jemand kurz erklären könnte wie das Funktioniert wäre ich sehr dankbar. Auch über generelle Tips wie man an solche Grenzwert aufgaben herangeht würde ich mich freuen den mit ausklammern der höchsten Potenz kommt man hier nicht wirklich weiter

Answer 1

Es ist $$\lim_{n \to \infty } \frac{n!+2^n}{n!}=1+ \lim_{n \to \infty } \frac{2^n}{n!}$$

Und es gilt z.B. $$2^{n-1} \leq 2 \cdot 3 \ldots \cdot (n-1)$$ und damit $$\frac{2^n}{n!}=\frac{2^{n-1}}{(n-1)} \cdot \frac{2}{n}\leq \frac{2}{n}$$.

Und bei der zweiten Aufgabe hast du dich wohl vertippt:

$$\lim_{n \to \infty }2 \cdot (1-3/4)^n=2\lim_{n \to \infty }(1/4)^n=0$$

Comments

Erstmal danke für die schnelle Antwort!
Allerdings versteh ich überhaupt nicht was Sie da gemacht haben
n! kann man doch nicht in (n-1) * n auflösenwenn wäre es doch (n-1) * n!.würde ja bedeuten bsp. 20! = 19 * 20 was ja sicher nicht der Fall ist.und 2/n bei n gegen unendlich kommt ja auch niemals 1 raus. Oder bin ich jetzt komplett aufm falschen weg...
Bei der zweiten Aufgabe hab ich mich leider nicht verschrieben....

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"n! kann man doch nicht in (n-1) * n auflöse"

Das ist ein tippfehler meinerseits, es heißt natürlich (n-1)! nicht n-1, denn n!=(n-1)!*n 

"wenn wäre es doch (n-1) * n!.  "

nein, wäre es nicht.

" und 2/n bei n gegen unendlich kommt ja auch niemals 1 raus"

Richtig. Und? Das hab ich nirgendwo behauptet. Was der Grenzwert ist, ist aber hoffentlich bekannt. 

"Bei der zweiten Aufgabe hab ich mich leider nicht verschrieben.... "

Dann steht die Lösung zur Aufgabe ja in meinem Post.

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Sie meinen also der Grenzwert der ersten Aufgabe ist null ?
Zur Zweiten Aufgabe ist ihr Ergebnis, außer natürlich meine Lösungen sind falsch, schlichtweg nicht richtig...

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"Sie meinen also der Grenzwert der ersten Aufgabe ist null ? "

Nein, keine Ahnung wo Sie das rauslesen. Der Grenzwert ist 1. 

"Zur Zweiten Aufgabe ist ihr Ergebnis, außer natürlich meine Lösungen sind falsch, schlichtweg nicht richtig... "

Meine Lösung zur Aufgabe ist richtig, die vorgegebene Lösung ist schlichtweg nicht richtig, vermutlich aufgrund eines Tippfehlers, da die 4 wohl ein n hätte sein sollen. 

Und da jetzt Aussage gegen Aussage steht: In einen onlinerechner wie z.B. wolframalpha eingeben und schauen was der ausspuckt...

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Gott jetzt hab ich die erste Aufgabe endlich verstanden...

Und zur zweiten.... ja Wolframalpha sagt auch 0. Allerdings hab ich mich definitiv nicht vertippt, was bedeutet die Lösung ist falsch was für mich natürlich mega scheiße ist... aber gut da können sie ja nichts dafür.

Vielen Danke für ihre Hilfe

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"was bedeutet die Lösung ist falsch was für mich natürlich mega ******* ist..."

Dass eine Musterlösung falsch ist soll vorkommen und ist kein Weltuntergang. 

Es ist hier viel wahrscheinlicher, dass die Lösung richtig ist, da der Tippfehler in der Aufgabe ist, siehe oben. oder die Antwort Der_MatheCoach

Answer 2

Meinst du bei der zweiten Folge

LIM (n → ∞) (2·(1 - 3/n)^n) = 2·e^{-3}

So wäre das richtig. Kannst ja mal schauen wie die Aufgabe gegeben war.

Comments

ne hab mich nicht vertippt... Die Aufgabe steht genau so wie ich sie oben hingeschrieben habe in meinen Übungsaufgaben 

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Wie in der anderen Antwort gesagt ist dann die Lösung falsch.