Exponentialgleichung durch Substitution lösen. 0 = 3^{2x} - 4 * 3^x +3

Question

Ich soll die durch Substitution lösen:
0 = 3^{2x} - 4 * 3^x +3

Rauskommen soll u1 = 0 und u2=1

Ich bin nun folgendermaßen vorgegangen und komme nicht auf das Ergebnis. Wo liegt mein Fehler, ich bitte im Verbesserung und einen richtigen Lösungsweg, damit ich das mal vertehe.

0 = 3^{2x} - 12^x + 3

0 = 3u^2 - 12u + 3        ->

Das habe ich alles in die abc-Formel eingesetzt und es hat nicht mehr gepasst. Ich glaube mein Fehler ist schon vor dem Einsetzten.

Comments

Wo dein Fehler ist ist dir ja schon gesagt worden
4 * 3^x = 12^x

Zum merken : Die Wertigkeit der Mathe-Operatoren

+ - : gering
* und / : stärker
hoch und Wurzel : am stärksten

4 * 3^x heißt 4 *( 3^x )

Answer 1

0 = 3^2x - 4 * 3^x +3  | 3 hoch (2x) ist auch 3^x hoch 2

Ersetzung
3^{x} = a
a^{2} - 4 * a + 3 = 0  | pq-Formel  oder quadratische Ergänzung
a^2 - 4 * a + 2^2 = -3 + 4
( a - 2 )^2 = 1
a - 2 = ± 1
a = ± 1 + 2

a = 1
und
a = 3

Rückersetzung
3^x = 1
3^0 = 1
x = 0

3^x = 3
x = 1

Proben
0 = 3^2x - 4 * 3^x +3
0 = 3^2*0 - 4 * 3⁰ +3
0 = 1 - 4 + 3  | stimmt

0 = 3^2*1 - 4 * 3¹ +3
0 = 9 - 12 + 3  | stimmt

Comments

. " Jetzt bin ich überfragt, keine Ahnung. " .. traurig ..

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@bh885

Diese Antwort habe ich heute schon einmal gegeben.

Alles was jetzt gesagt wird ist schon tausendmal gesagt worden.

JEDERMANN kann hier Mathe-Fragen stellen.

und JEDERMANN kann hier Antworten geben.

Nun gibt es 2 unterschiedliche Beantwortungsweisen

- ich zeige dem Fragestseller den Lösungsweg und rechne ihm die Aufgabe vor.
( so habe ich Mathe gelernt )

- die interaktive Lernmethode. Stück für Stück mit dem Fragesteller
die Lösung erarbeiten.

  Beides ist völlig gleichwertig.

  Über das Internet ist für mich Methode 1 effektiver. Im direkten
persönlichen Unterricht kann Methode 2 effektiver sein.

  Das über Methode 1 massenhaft Mißbrauch betrieben wird um sich
die Hausaufgaben machen zu lassen glaube ich nicht.

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Lieber Georg,

Mit Erstaunen lese ich, dass Du Mathe gelernt hast, indem du vorgerechnete Lösungswege gelesen hast. Dann muss Dein Arbeitsgedächtnis größer sein, als bei Normalsterblichen. Oder Du abstrahierst Muster aus den gelesenen Lösungswegen. Das kann aber nicht jeder ohne Anleitung eines Lehrers.

Gruß Roland

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Beides ist völlig gleichwertig.

Das sehe ich nicht so. Gleichwertig im Bezug darauf, dass man am Ende eine fertige Lösung hat, ja. Gleichwertig im Bezug auf den eigenen Lernerfolg und einem nachhaltigen Verständnis sind diese Methoden sicherlich nicht. Sie unterscheiden sich um Welten.

Oder warum scheitern Schüler immer wieder an ähnlichen Aufgaben mit anderen Zahlen, selbst wenn sie bereits zahlreiche Beispiele kennen, da sie im Unterricht, in Büchern, im Internet und sonst überall zu finden sind?

Auch der Kandidat, der aktuell viele Aufgaben zu Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln postet, hat offenbar noch immer kein solides Verständnis vom Thema, obwohl ihm schon mehrfach Lösungen vorgerechnet wurden. Das zeigt doch eindrucksvoll, wie sinnvoll diese Methode ist. Das ist auch kein Einzelfall.

Selbstverständlich gilt natürlich auch hier: Ausnahmen bestätigen die Regel. Aber es sind eben Ausnahmen, also Einzelfälle.

Das über Methode 1 massenhaft Mißbrauch betrieben wird um sich
die Hausaufgaben machen zu lassen glaube ich nicht.

Das ist nicht nur heute naiv, sondern war es 2015 sicherlich auch schon!

Answer 2

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wau !

-> 4* 3^x = 4* (3^x ) ..  ist UNGLEICH   .. -> (4*3)^3 =12^x

also  ..-> wie sieht deine quadratische Gleichung richtig aus ? -> ..

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Comments

Jetzt bin ich überfragt, keine Ahnung.

Answer 3

\(3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3=0\)

Lösung ohne Substitution:

\(3^{2x}-4\cdot 3^{x}=-3\)     quadratische Ergänzung:

\(3^{2x}-4\cdot 3^{x}+(\frac{4}{2})^2=-3+(\frac{4}{2})^2\)    2.Binom:

\((3^{x}-\frac{4}{2})^2=1  |±\sqrt{~~}\)

1.)

\(3^{x}-2=1  \)

\(3^{x}=3 \)

\(x_1=1 \)

2.)

\(3^{x}-2=-1  \)

\(3^{x}=1  \)

\(x_2=0 \)