Auch ich kann Deutsch ( " Tiefpunkt " ) ; das heißt nicht " Rekonstruktion " , sondern " Steckbriefaufgabe "
Ihr müsst etwas lernen, was euch eure Lehrer systematisch verheimlichen:
" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "
Eure Lehrer haben da eine Beschäftigungsterapie erdacht; ihr sollt glauben, dass es individuelle Unterschiede zwischen den Grafen gebe; als wenn es ein Abenteuer sei, die zu berechnen.
Diktat für Spickzettel, Formelsammlung und Regelheft.
Jedes kubische Polynom verläuft PUNKT SYMMETRISCH gegen seinen WP .
Wenn da schon steht, der WP liegt im Koordinatenursprung - naa? aha; die Funktion hat ungerade Symmetrie.
f ( x ) = a3 x ³ + a1 x ( 1 )
Ja wir wissen sogar noch mehr. Wenn du das Minimum hast, hast du natürlich auch das Maximum durch Spiegeln:
( x | y ) ( max ) = ( - 1 | 2 ) ( 2 )
Aber darauf will ich gar nicht hinaus. wir machen das heute ohne eine einzige Ableitung.
Eine Darstellung des Polynoms, bei welcher der WP direkt auf der Abszisse liegt, bezeichne ich als natürliche Darstellung ( ND ) Die beiden Extrema fallen ja immer Spiegel symmetrisch; und in ND tun dies auch die beiden Knoten ( warum? )
Wieder für den Spickzettel; für Nullstellen und Extrema gilt in ND eine strenge Wurzel-3-Proportionalität
x3 - x ( w ) = [ x ( min ) - x ( w ) ] sqr ( 3 ) ( 3a )
in unserem Falle also direkt aus dem Minimum
x1;3 = -/+ sqr ( 3 ) ( 3b )
f ( x ) = k x ( x + 3 ^ 1/2 ) ( x - 3 ^ 1/2 ) = ( 3c )
= k ( x ³ - 3 x ) ( 3d )
Deine eigenleistung: woher tun wir uns k schnitzen?
Alle Aufgaben auf Schulniveau gehen mit so Zaubertricks, dass du dir Hilfspunkte beschaffst, die explizit gar nicht da stehen. Nur eine Unbekannte hatte ich - von Anfang an, wohl gemerkt.
Ich halte es für entscheidend wichtig, dass du fragst. Woher solltest du sonst etwas lernen?
Aufg b) ist sogar noch besser. Hier gibt es eine Strategie " Bottom -Up " und eine " Top - Down "
Bottom Up sagst du, du hast ja schon beide Wurzeln der ersten Ableitung - steht ja alles da:
f ' ( x ) = k x ( x - 2 ) = ( 4a )
= k ( x ² - 2 x ) ( 4b )
Was bleibt zu tun? Aufleiten, ===> Stammfunktion ===> Integral
f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - x ² ) + C ( 4c )
mit der ===> Integrationskonstanten C , die sogar verschwindet ( warum? )
Und den ===> Leitkoeffizienten k kriegst du durch Einsetzen von P
k ( 8/3 - 4 ) = 4 | : 4 ( 4d )
Kürzen ist wichtiger als zusammen Fassen; bei mir würds ja Strafpunkte hageln ohne Ende.
k ( 2/3 - 1 ) = 1 ===> k = ( - 3 ) ( 5a )
f ( x ) = 3 x ² - x ³ ( 5b )
Es ist immer wieder überraschend; ich seh grad. Das top-down-Verfahren, das ich dir oben ankündigte, geht sogar noch schneller.
Ein Extremum ist immer eine Nullstelle von gerader Ordnung wie hier im Ursprung; offensichtlich also doppelte. Damit lautet die Normalform des gesuchten Polynoms
F ( x ) = x ² ( x - x3 ) = ( 6a )
=: x ³ + a2 x ² ( 6b )
mit der Unbekannten x3 ( Nullstelle ) bzw. a2 . Wieder eine Formel für den Spickzettel
x ( w ) = 1 = - 1/3 a2 ===> a2 = ( - 3 ) ( 6c )
Erinnern wir uns. Wegen der Spiegelung kennen wir den WP , obwohl er nicht in der Aufgabe steht - wir müssen nur das aritmetische Mittel aus den beiden Extrtema ziehen.
Jetzt brauchen wir noch die Normierung
f ( x ) = k F ( x ) ( 7 )
Naa stimmts?
