Limes und Integral zeigen/beweisen: u.a. Integral von ( sin((n+ 1/2)x) / x ) von 0 bis pi

Question

(a) Beweisen Sie, dass das Limes \( \lim \limits_{a \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{a} \frac{\sin x}{x} d x \) existiert.

(b) Berechnen Sie

\( \int \limits_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right) x\right)}{2 \sin \left(\frac{1}{2} x\right)} d x \)

(c) Zeigen Sie, dass gilt

\( \left|\int \limits_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right) x\right)}{2 \sin \left(\frac{1}{2} x\right)} d x-\int \limits_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right) x\right)}{x} d x\right| \rightarrow 0 \) mit \( n \rightarrow \infty \)

(d) Benutzen Sie (b) und (c) um den Limes in (a) zu berechnen.

Comments

Bisher erst kurze Diskussion im Kommentar hier: Anscheinend Resultat von b) pi/2

https://www.mathelounge.de/25417/wie-berechne-ich-dieses-integral-von-sin-n-1-2-x-x-von-0-bis-pi

---

ja, da

sin((n+1/2)x) / 2sin(1/2x) = 1/2 + summe[cos(kx)],k=0,n

ist und man davon das integral einfach berechnen kann. aber für das 2. integral habe ich sowas nicht..

---

Hab ab und an mal reingeschaut, komme aber auch nicht auf den zweiten Summanden bei c).

Wäre nur die a) von Belang wäre es durchaus machbar.

Vorschlag 1: Eine Laplacetransformation erlaubt ein relativ einfaches errechnen (Einzeiler).

Vorschlag 2: In komplexe Zahlen überführen. Dürfte aber bei weitem aufwendiger sein, als Vorschlag 1.

Hilft nur leider bei der eigentlichen Aufgabenstellung (siehe d)) nicht weiter.

---

Kannst du mit der Antwort (Stammfunktion) hier etwas anfangen?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28sin%28ax%29+%2F+x%29

---

wie kann man denn bei dem 2. integral zeigen, dass das Riemann-integrierbar ist? dann könnte man doch die sinus funktion in ihre exponentialschreibweise überführen und das Riemann-Lebesgue Lemma anwenden, oder?

---

was ist denn Si?

---

Scheint eine durch diese bei der Integration entstandene Reihe definierte Funktion zu sein. Du kannst auf definition klicken.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28sin%28%28n%2B1%2F2%29*x%29+%2F+x%29

Die unterste Reihe bekommt man wohl durch iterierte partielle Integration

sin((n+1/2)x) aufgeleitet und 1/x abgeleitet.

Dokumentation von sinc scheint mit deiner Aufgabe zu tun zu haben. http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html

---

ok, naja damit weiß ich nicht wirklich was anzufangen..

wenn man sich die aufgabe im gesamten anschaut (link weiter oben), dann müsste so etwas wie π/2 (und wahrscheinlich noch irgenwo ein n) rauskommen..

---

Irgendwie schon. Müsste ja (entfernt?) etwas mit euren akttuellen Themen in der Vorlesung zu tun haben. Die Dokumentationen von Wolframalpha nützen leider nur dann etwas, wenn man's ungefähr erkennt.

Viel Erfolg noch!

Answer 1

In meinem alten Bronstein (Ausg. 1981) S. 119. Formel 11a. steht, dass dein Integral von 0 bis unendlich pi/2 gibt, wenn (n+1/2) grösser als 0 ist. Du müsstest jetzt einfach noch begründen können, dass für grosse n der Anteil von pi bis unendlich gegen 0 geht, um deine Aufgabe c) lösen zu können.