Reihe - Summe s4, absoluter Fehler, obere und untere Schranken

Question

Berechnen Sie die Summe s4 der ersten vier Glieder von $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { { (-1) }^{ k } }{ k! }  } =\frac { 1 }{ e } -1 $$ und schätzen Sie den absoluten Fehler |s-s4| ab. Geben Sie ferner untere und obere Schranken für s an.

Die Summe von s4 zu berechnen ist nicht mein Problem. Jedoch habe ich keine Ahnung wie ich den absoluten Fehler abschätzen soll geschweige denn auf die obere und untere Grenzen komme.

Wie ist hierfür die Herangehensweise?

Answer 1

Die Reihe ist doch alternierend.

Dann kann der Fehler nicht größer sein als der Betrag des 5. Summanden.

Comments

Die Aussage hilft mir leider nicht weiter, da ich nicht nachvollziehen kann wie man darauf kommt. Das bedeutet also, bei alternierenden Reihen kann der Fehler nie größer sein als der Betrag des 5. Summanden (?) Generell so?

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Wenn die Folge der Beträge der Summanden monoton fallend ist und

die Reihe alternierend, dann ist immer der Fehler bei der Summe bis an

≤ Betrag von a _n+1 

In deinem Fall ist natürlich die Antwort von Bepprich noch genauer.

Answer 2

Wenn mich nicht alles täuscht, könnte man die Aufgabe so angehen:

Schreiben wir mal die Partialsummen bis zum 4. Glied hin:

s4 = a1 + a2 + a3 + a4 = -1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 = - 0,625

Man kann zeigen, dass gilt:  |s - s_n| ≤ a_n+1    ( hier a_n+1 = a₅ = - 1/120)

Aber s ist generell ja gegeben mit s = 1/e - 1

-> Absoluter Fehler  |s - s₄| =  |1/e - 1 - (-0,625)| =  0,00712

Obere Schranke ist eine Partialsumme, bei der die Reihe nach oben beschränkt wäre. Beispielsweise 1/2.

Untere Schranke ist eine Partialsumme, bei der die Reihe nach unten beschränkt wäre. Beispielsweise -1.