0 Daumen
13k Aufrufe

Stellen Sie die Funktion

$$ f : R \longmapsto R : x \longmapsto \frac { 1 } { 2 + x ^ { 2 } } $$

als Potenzreihe um 0 dar. 


 Dies ist vermutlich eine leichte Aufgabe, aber dennoch stehe ich auf dem Schlauch. Habe schon versucht dies durch die Taylorreihe zu approximieren, aber irgendwie komme ich nicht auf das Ergebnis.

Dies lautet

$$ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { 2 ^ { k + 1 } } x ^ { 2 k } $$

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen

Ein alternativer Weg:

Verwende die geometrische Reihe

$$ \sum_{k=1}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}$$

die für |q|<1 absolut konvergiert.
Wenn du deine Funktion als

$$f(x) = \frac{1}{2+x²} = \frac{1}{2} \frac{1}{1-(-x^2/2)}$$

schreibst, dann kannst du für |x²|<1 diese Reihe verwenden und erhältst

$$f(x) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty (-\frac{x^2}{2})^k \\ \ \ \ = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{2^k} x^{2k}$$

Avatar von 10 k
Warum nur für \(\vert x^2\vert<1\) ?
0 Daumen

Taylorreihe ist schon der richtige Gedanke. Da solltest Du auf


1/2 - x^2/4 + x^4/8 - ...

kommen. Da kann man schon herauslesen, dass die Potenzreihe der Lösung entsprechen muss ;).


Grüße

Avatar von 141 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community