Funktion als Potenzreihe darstellen

Question

Stellen Sie die Funktion

$$ f : R \longmapsto R : x \longmapsto \frac { 1 } { 2 + x ^ { 2 } } $$

als Potenzreihe um 0 dar. 

 Dies ist vermutlich eine leichte Aufgabe, aber dennoch stehe ich auf dem Schlauch. Habe schon versucht dies durch die Taylorreihe zu approximieren, aber irgendwie komme ich nicht auf das Ergebnis.

Dies lautet

$$ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { 2 ^ { k + 1 } } x ^ { 2 k } $$

Answer 1

Ein alternativer Weg:

Verwende die geometrische Reihe

$$ \sum_{k=1}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}$$

die für |q|<1 absolut konvergiert.
Wenn du deine Funktion als

$$f(x) = \frac{1}{2+x²} = \frac{1}{2} \frac{1}{1-(-x^2/2)}$$

schreibst, dann kannst du für |x²|<1 diese Reihe verwenden und erhältst

$$f(x) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty (-\frac{x^2}{2})^k \\ \ \ \ = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{2^k} x^{2k}$$

Comments

Warum nur für \(\vert x^2\vert<1\) ?

Answer 2

Taylorreihe ist schon der richtige Gedanke. Da solltest Du auf

1/2 - x^2/4 + x^4/8 - ...

kommen. Da kann man schon herauslesen, dass die Potenzreihe der Lösung entsprechen muss ;).

Grüße