Quadrik und affine Abbildung (Quadrik soll auf Quadrik abgebildet werden)

Question

Brauche Hilfe bei einer Aufgabe.

Gegeben sind die beiden Ellipsen

E=((x,y)eR^2| 5x^2+5y^2+2xy+8√2x+16√2y=-16)

E^'=((x,y)eR^2| 9x^2+11y2+2√3xy=24)

So nun soll man eine eigentliche Isometrie angeben, die E auf E^' abbildet.

Wie geht man hier vor? Man will ja nun das Bild von E^' bestimmen oder?

eigentliche Isometrie bedeutet ja im R^2 -->   (cos(a)  -sin(a))

                                                                         (sin(a)   cos(a))

So dann hat man doch die Abbildung f(E):R^2-->R^2:x|-->(cos(a) -sin(a))  x + t = E^'

                                                                                             (sin(a)  cos(a))  

sehe ich das so richtig?

Wie gehe ich hier nun aber allgemein vor?

Danke schon mal:)

Comments

Vermutlich musst du erst mal je eine Hauptachsentransformation machen,

und dann den Winkel zwischen entsprechenden Achsen als Drehwinkel nehmen.

Vielleicht kann man dann erkennen um wie viel man noch verschieben muss.

Answer 1

Quadrik E hat die Matrix
A =
5   1
1   5
diagonalisieren
gibt Eigenwerte 6 und 4
und Eigenvektor
zu 6 ist  (1;1) und
zu 4  ist  (1;-1)
Das sind die Richtungen der Hauptachsen.

Quadrik E^' hat die Matrix B =
9        √(3)
√(3)    11
diagonalisieren
gibt Eigenwerte 8 und 12
und Eigenvektor
zu 8 ist  (√(3);-1) und
zu 4  ist  (1;√(3))
Das sind hier die Richtungen der Hauptachsen.

Also musst du eine Drehung um pi/12 machen, um
E auf E^' abzubilden. Dann bekommst du die Achsen
schon mal parallel.

Jetzt brauchst du noch die Mittelpunkte, dazu könnte
man die Hauptachsentranformation vollenden
wenn ich mich nicht verrechnet habe ist der
Mittelpu von E  (- √(2)/2 ; -√(2)/2 )
und bei der anderen ( 0 ; 0 )

Also ist die gesuchte Abbildung die Drehung um pi/12
gefolgt von einer Verschiebung um  ( √(2)/2 ; √(2)/2 ).

Comments

Wie erhält man die Drehung um pi/12  Ist der Mittelpunkt von E nicht -√(2)/2 und -3√(2)/2

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Kann sein, dass ich mich bei dem Mipu. verrechnet habe.

Die pi/12 kommen von den Achsenrichtung

eine hat pi/3 ( 1/ √(3) ) gegen die pos. x-Achse und die

andere pi/4.

Also pi/3 - pi/4 = pi/12

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  des habe ich soweit verstanden, aber ich weiß nicht wie ich dann auf  abbildung komm. wär echt super wenn du des erklären könntest.

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Hast du doch schon geschrieben

  (cos(a)  -sin(a))

    (sin(a)   cos(a))

mit a = pi/12  und

dann

dahinter die verschiebung