Affine Abbildung von Geraden

Question

Geben Sie alle AffinitätenT: A²→A² mit det(→T) = 1 und Spur(→T) = 0 an, die die Geraden G1={(t,0)|t∈R}und G2={(2,t)|t∈R}jeweils auf die Geraden G′1={(t,t)|t∈R} und G′2={(5,t)|t∈R}und außerdem den Punkt p=(2,0) auf denPunkt p′=(0,0) abbilden.

Sei Te ine affine Transformation mit den geforderten Eigenschaften, wobei wir zunächst p=(2,0)annehmen. Wir setzen e₁:=(1,0), e₂:=(0,1), v₁:=(1,1) und v₂:=(5,1) sowie p₁:=p+e₁ und p₂:=p+e₂.

Da T die Gerade G₁=p+⟨e₁⟩nach Voraussetzungauf die Gerade G′₁=p′+⟨v₁⟩abbildet, gibt es eine Konstante λ∈R mit p′+λ·v₁=T(p₁) =p′+(→T)(→pp₁) =p′+(→T)(e₁). (1)

Wegen G₂ =p+⟨e₂⟩, G′₂=p′+⟨v₂⟩ existiert dann auch eine Konstante μ∈R mit p′+μ·v₂=T(p₂) =p′+(→T)(→pp₂) =p′+(→T)(e₂).   (2)

→T bedeutet immer, dass der Pfeil über dem T steht.

Kann mir jemand erklären, wie ich afu die Gleichungen (1) und (2) komme?

Ich kann die Schritte leider nicht nachvollziehen. Der Rest der Aufgabe ist mir dann klar.

Danke schon mal für eure Hilfe

Comments

Hallo Sternchen,

die geforderte Abbildung \(g_2=(2,\,t)\) auf \(g_2'=(5,\, t)\) plus die Forderung, dass der Punkt \(p=(2,\, 0)\) auf \(p'=(0,\, 0)\) abgebildet wird, ist ein Widerspruch. \(p\) liegt auf \(g_2\), aber \(p'\) liegt nicht auf \(g_2'\) - das geht nicht!

Überprüfe bitte noch mal die Aufgabenstellung.

Gruß Werner

---

Oh danke hier nochmal die verbesserte Aufgabenstellung. Ich habe bei G´2 ein t vergessen

Geben Sie alle AffinitätenT: A2→A2 mit det(→T) = 1 und Spur(→T) = 0 an, die die Geraden G1={(t,0)|t∈R}und G2={(2,t)|t∈R}jeweils auf die Geraden G′1={(t,t)|t∈R} und G′2={(5t,t)|t∈R}und außerdem den Punkt p=(2,0) auf denPunkt p′=(0,0) abbilden

Answer 1

Hallo Sternchen,

die allgemeine Form für eine affine Abbildung in \(\mathbb{R}^2\) ist $$x' = \begin{pmatrix} n_x& o_x \\ n_y& o_y\end{pmatrix} \cdot x + \begin{pmatrix} p_x\\ p_y\end{pmatrix} $$aus \((t,\,0) \to (t,\, t)\) folgt:$$\begin{pmatrix} n_x& o_x \\ n_y& o_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} t\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p_x\\ p_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t'\\ t' \end{pmatrix} $$Bem: das \(t\) muss nicht mit dem \(t'\) im Bild identisch sein. Daraus folgt zunächst \(n_x = n_y\) und \(p_x = p_y\), was ich im folgenden als \(n\) bzw. \(p\) bezeichne.

wegen \((2,\, t) \to (5t,\, t)\) lässt sich schreiben$$\begin{pmatrix} n& o_x \\ n& o_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p\\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5t'\\ t' \end{pmatrix} \\ \implies 2n + o_xt + p = 5(2n + o_yt + p)$$Da das für jedes \(t\) gelten muss, macht man einen Koeffizientenvergleich. D.h$$o_x = 5o_y$$ für die Faktoren vor \(t\) und $$2n + p = 10n + 5p \implies p = -2n$$für den konstante Anteil. Damit haben wir bis jetzt$$x' = \begin{pmatrix} n& 5o \\ n& o\end{pmatrix} \cdot x - 2\begin{pmatrix} n\\ n\end{pmatrix}$$Die Forderung \((2,\, 0) \to (0, \, 0)\) ist damit automatisch erfüllt. Setze für \(x\) das \((2,\, 0)\) ein, dann siehst Du es!

Bleibt noch \(\det(T)=1\) und \(\text{Spur(T)}=0\)$$\det(T) = 1 \implies n \cdot o - n \cdot 5o = 1 \implies n\cdot o = - \frac 14 \\  \text{Spur(T) = 0} \implies n + o = 0 \\ \implies n= \frac 12, \quad o= -\frac 12 $$ oder eben umgekehrt. Eine mögliche Transformation ist dann$$x' = \begin{pmatrix} \frac 12& -\frac 52 \\ \frac 12& -\frac 12\end{pmatrix} \cdot x - \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}$$und die zweite Lösung ist alles mit \(-1\) multipliziert. Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte nochmal.

Gruß Werner

Comments

Super danke, ich schau mir das heute Mittag/Abend mal an und melde mich sonst wieder!!!