Vereinfachung in Grenzwertterm a_(n)= (-1)^n/(2n+1)!

Question

ich beschäftige mich gerade mit einer Aufgabe zum Konverganzradius bei Potenzreihen. Die Musterlösung sieht wie folgt aus:

Ich verstehe dabei erstens nicht, warum sich (-1) mit ^{n+1} wegkürzen soll und zweitens warum im Ausdruck beim roten Pfeil (2(n+1)+1)! statt (2n+1+1) steht. Also wo kommt da plötzlich die zusätzliche Klammer um n+1 her?

Und auch im letzten Schritt ist mir unklar wie vom in der Lösung auf (2n+2)(2n+3) kommen soll. Wie wird denn da plötzlich aus dem Bruch eine Multiplikation?

Also genau genommen verstehe ich eigentlich fast gar nichts, von der Lösung. Sorry :-D

Danke für  die Hilfe!

Answer 1

(-1)^n / (-1)^{n + 1} = -1

Da das ganze aber eh im Betrag steht braucht man den Faktor -1 gar nicht mehr hinschreiben.

Was die andere Frage betrifft

IMMER wenn ich eine Unbekannte durch einen Term ersetzte, muss ich den Term Klammern, wenn ich die Klammern nicht weglassen kann

2 * x

2 * 5 = 10

2 * 6 = 12

Nun ersetze ich das x durch 5 + 1 was ja 6 sind

2 * (5 + 1) = 12

2 * 5 + 1 = 11 !!!

Das ist ja jetzt offensichtlich nicht das gleiche. Daher darf man die Klammer auch nicht weglassen.

Comments

Oh mein Gott, das war ja wirklich offensichtlich. Da stande ich mal wieder mega auf dem Schlauch! Danke für die Erklärung, jetzt hab ich es endlich auch begriffen!

Answer 2

- Es ist $$\frac{(-1)^n}{(-1)^{n+1}}=(-1)^{n-(n+1)}=(-1)^{-1}=-1$$ nach Bruch und Exponentialrechenregeln.-  Aus n wird n+1 Damit wird aus n+n: n+1+n+1=2(n+1).- Definition der Fakultät: (n+1)=n!*(n+1) und das hier zweimal angewandt und gekürzt.

Comments

Ich glaube, mir fehlt hier ein bisschen was grundlegende Verständnis. Ist, wenn

$$ { a }_{ n }=\frac { { (-1) }^{ n } }{ (2n+1)! } \quad \quad $$ dann nicht $${ a }_{ n+1 }=\frac { { (-1) }^{ n+1 } }{ (2n+2)! } \quad \quad $$?

Dankesehr!

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Nein. Es ist wie die Aufgabe sagt und ich im zweiten Punkt versucht habe zu erklären:

$$a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{(2(n+1)+1)!}$$

und im Endeffekt ist das die Punkt-vor-Strich Regel.

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Der grundsätzliche, weit verbreitete und weit reichende Fehler wird wohl darin bestehen, dass die der besseren Lesbarkeit wegen oft weggelassenen (also unsichtbaren) Außenklammern eines Termes beim Einsetzen nicht wieder hingeschrieben werden. Würde man statt \(a_{n+1}\) richtigerweise \(a_{(n+1)}\) schreiben, würde dieser Fehler vermutlich nicht passieren.

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@jf117: Verrätst du mir oder uns was an \( a_{n+1} \) falsch sein soll? Und was der Bedeutungsunterschied zu \( a_{(n+1)}\) sein soll?

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Erst einmal vielen Dank für die Hilfe!

Leider verstehe ich es aber trotz Erklärung immer noch nicht. Könnte mir das mal jemand noch mit Zwischenschritten zeigen, wie ich von $$(2n+1)!$$  auf $$ (2(n+1)+1)! $$ komme?

Vielen

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jd131:  jf117 bezieht sich auf die Frage nach Klammern, die der Fragesteller gestellt hatte.

" zweitens warum im Ausdruck beim roten Pfeil (2(n+1)+1)! statt (2n+1+1) steht. Also wo kommt da plötzlich die zusätzliche Klammer um n+1 her?"  

Wenn man Klammern (n+1) um den Index schreiben würde, hätte man sie automatisch dabei, wenn man (n+1) einsetzen soll, wo vorher n stand, also bei a_(n+1) 

a_(n) = 1/(2n +1)!

a_(x) = 1/(2x+1)!

a_(3) == 1/(6+1)! = 1/(7)!

a_(4) = 1/(8+1)! = 1/(9)!

a_(n+1) = 1/(2(n+1) + 1)!

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@Lu: Nur den absolut üblichen Klammerkonventionen ist das alles absolut unnötig und trägt nur dazu bei di9e terme häßlicher und damit unübersichtlicher aussehen zu lassen als nötig.

Aber das ganze haat sich ja jetzt erledigt, da hedjer dank der_mathecoach glücklich ist.