Lagebeziehung Gerade/Ebene

Question

Die Gerade g durch die Punkte A und B schneidet die Ebene E. Bestimmen sie den Schnittpunkt S.

A(2;0;2), B(6;4;0) , E: (x;y;z)=(12;0;0) + r*(-12;0;3)+s*(-12;6;0)

g: (x;y;z) = (2;0;2) + r*(4;4;-2)

Wie bringe ich Funktion E in die Koordinatenform??? Im Buch steht E: x+2y+4z=12 als Lösungsteil, danach muss man nur noch (x;y;z) aus "g" in die Funktion E einsetzten....

Answer 1

E: X = [12, 0, 0] + r·[-12, 0, 3] + s·[-12, 6, 0]

N = [-12, 0, 3] ⨯ [-12, 6, 0] = [-18, -36, -72] = -18·[1, 2, 4]

E: X·[1, 2, 4] = [12, 0, 0]·[1, 2, 4]

E: X·[1, 2, 4] = 12

Comments

Alternativ kannst du zur Lösung ein LGS nehmen

E = g

[12, 0, 0] + r·[-12, 0, 3] + s·[-12, 6, 0] = [2, 0, 2] + t·[4, 4, -2]

Mein Taschenrechner kommt hier auf die Lösung: r = 1/3 ∧ s = 1/3 ∧ t = 1/2

S = [2, 0, 2] + 1/2·[4, 4, -2] = [4, 2, 1]

Answer 2

Hi,

man muss die Koordinatenform dafür nicht berechnen. Setzte doch einfach

$$ \begin{pmatrix} 12\\0\\0 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -12\\0\\3 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -12\\6\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix}  $$ und suche die Werte \( r, s, \lambda \) die diese Gleichung erfüllen, dann kann man den Durchstoßpunkt auch ermitteln, indem Du etwa \( \lambda \) in die Geradengleichug einsetzt.

Wenn Du aber unbedingt mit der Koordinatenform rechnen willst, erhältst Du den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene, also durch
$$ \begin{pmatrix} -12\\0\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -12\\6\\0 \end{pmatrix} = -18\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix} $$ und die rechte Seite der Koordinatenform ergibt sich durch das Skalarprodukt  eines Punktes der Ebene mit dem Normalenvektor, also zu
$$ \begin{pmatrix} 12\\0\\0 \end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix} = 12  $$

Answer 3

Aus Geradengleichung !

x1  =  2 + 4r

x2  =  4r

x3  =  2-2r  ------>  Einsetzen !!

(2+4r) *1  + 2( 4r) + 4 ( 2 - 2r = 12  ,  Zusammenfassen 

2+2r+8r +8 - 8r  =  12

   2r =  12 - 10

       r =  2/2 =  1  !

S =   (  2,0,2  )   +   1*  ( 4,4,-2 )  ===>  (  6  ,  4  ,   0  )  !!

Comments

Ich denke da ist dir beim Ausmultiplizieren ein Fehler unterlaufen:

1·(2 + 4·r) + 2·(4·r) + 4·(2 - 2·r) = 12

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Danke , habe es auch bemerkt !!

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Korrektur ----->  r = 1/2   S =   (   2,0,2 )  +   1/2 * (  4,4,-2 )  =   (4  ,  2   ,  1  )  !!

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Woher kommt die Gleichung in die du die X-Werte eingesetzt hast? Ansonsten verstehe ich es...

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Das ist die Koordinatenform. Wie man die herleitet habe ich in meiner Antwort kurz beschrieben.