Lagebeziehung Gerade/Ebene

Question

Die Gerade g durch die Punkte A und B schneidet die Ebene E. Bestimmen sie den Schnittpunkt S.

A(2;0;2), B(6;4;0) , E: (x;y;z)=(12;0;0) + r*(-12;0;3)+s*(-12;6;0)

g: (x;y;z) = (2;0;2) + r*(4;4;-2)

Wie bringe ich Funktion E in die Koordinatenform??? Im Buch steht E: x+2y+4z=12 als Lösungsteil, danach muss man nur noch (x;y;z) aus "g" in die Funktion E einsetzten....

Answer 1

E: X = [12, 0, 0] + r·[-12, 0, 3] + s·[-12, 6, 0]

N = [-12, 0, 3] ⨯ [-12, 6, 0] = [-18, -36, -72] = -18·[1, 2, 4]

E: X·[1, 2, 4] = [12, 0, 0]·[1, 2, 4]

E: X·[1, 2, 4] = 12

Comments

Alternativ kannst du zur Lösung ein LGS nehmen

E = g

[12, 0, 0] + r·[-12, 0, 3] + s·[-12, 6, 0] = [2, 0, 2] + t·[4, 4, -2]

Mein Taschenrechner kommt hier auf die Lösung: r = 1/3 ∧ s = 1/3 ∧ t = 1/2

S = [2, 0, 2] + 1/2·[4, 4, -2] = [4, 2, 1]

Answer 2

Hi,

man muss die Koordinatenform dafür nicht berechnen. Setzte doch einfach

$$\begin{pmatrix} 12\\0\\0 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -12\\0\\3 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -12\\6\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix}$$ und suche die Werte $r, s, \lambda$ die diese Gleichung erfüllen, dann kann man den Durchstoßpunkt auch ermitteln, indem Du etwa $\lambda$ in die Geradengleichug einsetzt.

Wenn Du aber unbedingt mit der Koordinatenform rechnen willst, erhältst Du den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene, also durch
$$\begin{pmatrix} -12\\0\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -12\\6\\0 \end{pmatrix} = -18\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}$$ und die rechte Seite der Koordinatenform ergibt sich durch das Skalarprodukt  eines Punktes der Ebene mit dem Normalenvektor, also zu
$$\begin{pmatrix} 12\\0\\0 \end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix} = 12$$

Answer 3

Aus Geradengleichung !

x1  =  2 + 4r

x2  =  4r

x3  =  2-2r  ------>  Einsetzen !!

(2+4r) *1  + 2( 4r) + 4 ( 2 - 2r = 12  ,  Zusammenfassen

2+2r+8r +8 - 8r  =  12

2r =  12 - 10

r =  2/2 =  1  !

S =   (  2,0,2  )   +   1*  ( 4,4,-2 )  ===>  (  6  ,  4  ,   0  )  !!

Comments

Ich denke da ist dir beim Ausmultiplizieren ein Fehler unterlaufen:

1·(2 + 4·r) + 2·(4·r) + 4·(2 - 2·r) = 12

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Danke , habe es auch bemerkt !!

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Korrektur ----->  r = 1/2S =   (   2,0,2 )  +   1/2 * (  4,4,-2 )  =   (4  ,  2   ,  1  )  !!

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Woher kommt die Gleichung in die du die X-Werte eingesetzt hast? Ansonsten verstehe ich es...

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Das ist die Koordinatenform. Wie man die herleitet habe ich in meiner Antwort kurz beschrieben.