Komplexe Nullstellen von reellem Polynom p(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1 berechnen

Question

Bestimmen Sie sämtliche komplexen Nullstellen von

\( p(x)=x^{4}+x^{3}+2 x^{2}+x+1 \)

und schreiben Sie p als Produkt von reellen Polynomen von höchstens Grad zwei.

(Hinweis: p(i)=0.)

Answer 1

Wegen p(i) = 0 ist (x−i) ein Linearfaktor von p. Weiter sind die Koeffizienten alle reell, daher ist auch p(−i) = 0 und (x+i) ein weiterer Linearfaktor. Multipliziere die beiden bekannten Linearfaktoren nun aus und Du hast einen der beiden gesuchten reellen Faktoren.  Dividiere dann p durch diesen reellen Faktor und Du bekommst den anderen. Zerlege den dann weiter in Linearfaktoren.

Answer 2

Hi,

rate eine Nullstelle.

Diese wäre zum Beispiel x₁=i. Automatisch ist demnach auch x₂=-i eine Nullstelle.

 

Nun Polynomdivision mit (x^2+1) (was sich ja aus den Nullstellen x₁ und x₂ ergibt)

 

(x^4+x^3+2x^2+x+1):(x^2+1)=x^2+x+1

 

Mit der pq-Formel (oder quadratischer Ergänzung etc.) den quadratischen Ausdruck herannehmen:

x^2+x+1=0 für

x₃=-1/2+i√(3)/2 und x₄=-1/2-i√(3)/2

 

Grüße

Comments

Polynomdivision ist für mich kein Problem, aber ich verstehe nicht warum ich hier eine nullstelle "raten" muss und woher ich weiß ob meine erratene nullstelle richtig ist

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Nun bei einer Polynomdivision ist es "immer" nötig zu raten.

Und ob Du richtig geraten hast, erfährst Du, indem Du Deine Nullstelle in p(x) einsetzt.

Du wirst feststellen, dass p(i)=0, also eine Nullstelle ist ;)

Das ist übrigens auch in der Aufgabenstellung als Hinweis erwähnt.

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was ich noch nicht ganz nachvollziehen kann ist wie man auf (x2+1) bei der division kommt

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Hiermit: (x-i)*(x+i)

Answer 3

x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 = (x^2 + 1)·(x^2 + x + 1) = 0

x^2 + 1 = 0
x^2 = -1
x = -i ∨ x = i

x^2 + x + 1 = 0
x^2 + x = -1
x^2 + x + 1/2^2 = -1 + 1/2^2
(x + 1/2)^2 = -3/4
x + 1/2 = ± i·√3/2
x = - 1/2 ± i·√3/2