Varianz und Konfidenzschätzung

Question

Hallo liebe Freunde der Mathematik,

ich habe ein großes Problem, ich komme mit der Aufgabenstellung überhaupt nicht zurecht. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Also die Aufgabe lautet wie folgt... Ein Gerät wird as 2 Baugruppen B1 und B2 zusammengesetzt. Die Massen M1 und M2 der Baugruppen sein normalverteilte Zufallsgrößen mit den Varianzen σ²_{1 =} 0.32 und σ²₂= 0.16 (in kg²). Wir sollen jetzt die Varianz VAR(M) der Gesamtmasse M:= M1+M2, falls die cov(M1,M2)=0 und cov(M1, M2) = 0.01 gilt.

Ich habe jetzt bestimmt 2h an dieser Aufgabe probiert und werde einfach nicht schlau...

Desweiteren soll ich eine Konfidenzschätzung für die Masse M2 vornehmen, dabei soll ich n ermitteln, bei einem Konfidenzniveau von 1-α= 0.95, die Länge des Konfidenzintervalls ist maximal 0.4kg und σ²₂= 0.16

Auch hier habe ich mir ewig den Kopf zerbrochen und wollte das über de Normalverteilung mit bekannten Sigma berechnen. komme allerdings nicht auf das Ergebnis von n=16.... Kann mir jemand auf die Sprünge helfen. LG

Answer 1

Hi, es gilt

$$ Var(X+Y) = Var(X) + 2 \cdot Cov(X,Y) + Var(Y)  $$

https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_%28Stochastik%29#Varianz_von_Summen_von_Zufallsvariablen

Jetzt nur noch die Zahlen einsetzten und ausrechnen.

Für das Konfidenzintervall gilt

$$ \overline{x} - a \le \mu \le \overline{x} + a  $$ mit \( a = \frac{c \sigma}{\sqrt{n}} \) wobei \( c = 1.96 \) für die Konfidenzzahl \( 95 \)% ist.

D.h. die Länge des Intervalls ist

$$  0.4 = 2a = 2  \frac{c \sigma}{\sqrt{n}} \approx \frac{4 \cdot 0.4}{\sqrt{n}} $$ also \( n = 16 \)