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Hallo Forum-Mitglieder,



ich bin echt verzweifelt, wie ich folgende Identitäten beweisen soll...


Bild Mathematik 


Kann mir da jemand mal einen kleinen Denkanstoß geben?


LG

Orbi

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Ohne mich groß mit beschäftigt zu haben.  Schreibe doch mal im Bezug auf die e-funktion.  Und schreibe z als x+iy.  Dann müsste das nur etwas umformen sein.  

Hast Du keine Formelsammlung?  sin z = sin(x+iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y. Und dann den Betrag nehmen.

"Hast Du keine Formelsammlung?  sin z = sin(x+iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y. Und dann den Betrag nehmen."


Ich glaube, dass das als Beweis nicht ausreicht, wenn das in der (Vorlesung?) nicht bewiesen wurde.

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Beste Antwort

Hi,
$$  \sin(z) = \sin(x+iy) = \sin(x) \cos(iy) + \cos(x) \sin(iy) = \sin(x) \cosh(y) +i \cos(x) \sinh(y) $$
Deshalb gilt
$$ |sin(z)|^2 = \sin^2(x) \cosh^2(y) + \cos^2(x) \sinh^2(y) $$ und das ergibt das Ergebnis wegen \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1  \) und \( \cosh^2(y) - \sinh^2(y) = 1 \)

Avatar von 39 k

Vielen Dank ullim für den Lösungsweg. Den letzten Schritt verstehe ich, da haben Sie einfach clever eine 0 addiert mit $$\sin^{2}x \cdot \sinh^{2}y$$. Doch wie sind Sie denn darauf gekommen, dass $$ \sin(iy)=i \cdot \sinh(y) $$ ist?

Hier nämlich:

$$  \sin(x) \cos(iy) + \cos(x) \sin(iy) = \sin(x) \cosh(y) +i \cos(x) \sinh(y) $$

Ich würde mich sehr auf Ihre Antwort freuen.

LG

Orbi

Hi, ich habe nur benutzt das gilt
$$ \sinh(x) = -i \sin(ix)  $$ und $$ \cosh(ix) = \cos(ix) $$
Das kann man wie folgt ableiten. Es gilt ja
$$  e^{ix} = \cos(x) +i \sin(x) $$
also $$ e^x = e^{i (-ix) } = \cos(-ix) + i \sin(-ix) = \cos(ix) - i \sin(ix) $$
Ähnlich kommt man auf $$  e^{-x} = e^{i(ix)} =\cos(ix) + i \sin(ix) $$
Damit gilt $$ \sinh(x) = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right) = -i \sin(ix) $$ und
$$ \cosh(x) = \cos(ix)  $$

Damit gilt auch $$ i \sinh(x) = -i^2 \sin(ix) = \sin(ix) $$

Jetzt das einsetzten und das Quadrat des Betrages ausrechnen durch \( \Re^2 + \Im^2 \)

Das mit der Null addieren habe ich nicht verstanden.

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