|sin z|²= sin² x + sinh² y Beweis

Question

Hallo Forum-Mitglieder,

ich bin echt verzweifelt, wie ich folgende Identitäten beweisen soll...

Kann mir da jemand mal einen kleinen Denkanstoß geben?

LG

Orbi

Comments

Ohne mich groß mit beschäftigt zu haben.  Schreibe doch mal im Bezug auf die e-funktion.  Und schreibe z als x+iy.  Dann müsste das nur etwas umformen sein.

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Hast Du keine Formelsammlung?  sin z = sin(x+iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y. Und dann den Betrag nehmen.

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"Hast Du keine Formelsammlung?  sin z = sin(x+iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y. Und dann den Betrag nehmen."

Ich glaube, dass das als Beweis nicht ausreicht, wenn das in der (Vorlesung?) nicht bewiesen wurde.

Answer 1

Hi,
$$  \sin(z) = \sin(x+iy) = \sin(x) \cos(iy) + \cos(x) \sin(iy) = \sin(x) \cosh(y) +i \cos(x) \sinh(y) $$
Deshalb gilt
$$ |sin(z)|^2 = \sin^2(x) \cosh^2(y) + \cos^2(x) \sinh^2(y) $$ und das ergibt das Ergebnis wegen \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1  \) und \( \cosh^2(y) - \sinh^2(y) = 1 \)

Comments

Vielen Dank ullim für den Lösungsweg. Den letzten Schritt verstehe ich, da haben Sie einfach clever eine 0 addiert mit $$\sin^{2}x \cdot \sinh^{2}y$$. Doch wie sind Sie denn darauf gekommen, dass $$ \sin(iy)=i \cdot \sinh(y) $$ ist?

Hier nämlich:

$$  \sin(x) \cos(iy) + \cos(x) \sin(iy) = \sin(x) \cosh(y) +i \cos(x) \sinh(y) $$

Ich würde mich sehr auf Ihre Antwort freuen.

LG

Orbi

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Hi, ich habe nur benutzt das gilt
$$ \sinh(x) = -i \sin(ix)  $$ und $$ \cosh(ix) = \cos(ix) $$
Das kann man wie folgt ableiten. Es gilt ja
$$  e^{ix} = \cos(x) +i \sin(x) $$
also $$ e^x = e^{i (-ix) } = \cos(-ix) + i \sin(-ix) = \cos(ix) - i \sin(ix) $$
Ähnlich kommt man auf $$  e^{-x} = e^{i(ix)} =\cos(ix) + i \sin(ix) $$
Damit gilt $$ \sinh(x) = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right) = -i \sin(ix) $$ und
$$ \cosh(x) = \cos(ix)  $$

Damit gilt auch $$ i \sinh(x) = -i^2 \sin(ix) = \sin(ix) $$

Jetzt das einsetzten und das Quadrat des Betrages ausrechnen durch \( \Re^2 + \Im^2 \)

Das mit der Null addieren habe ich nicht verstanden.