1+t+t^2+t^3+...+t^n = (t^{n + 1} -1)/(t-1) beweisen und Winkelhalbierende in komplexer Zahlenebene

Question

Aufgabe 1:

Man zeige

\( 1+t+t^{2}+. .+t^{n} = \dfrac{t^{n+1}-1}{t-1} \)

soll entweder durch Ausmultiplizieren oder Induktion zu zeigen sein.

Aufgabe 2:

Es sei z eine komplexe Zahl vom Betrag 1. Wir betrachten die Gerade durch 0 und z und ihren Winkel mit der reellen Achse. Begründen Sie geometrisch, dass die Gerade durch 0 und 1 + z die Winkelhalbierende ist.

Comments

zu 1) Ich würde mit (t-1) ausmultiplizieren, dann bist Du in zwei Zeilen fertig.

zu 2) |z| = 1 ist der Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene.

Answer 1

1 + t + t^2 + t^3 + ... + t^n = (t^{n + 1} - 1) / (t - 1)
(1 + t + t^2 + t^3 + ... + t^n) * (t - 1) = t^{n + 1} - 1
t + t^2 + t^3 + t^4 + ... + t^{n + 1} - 1 - t - t^2 - t^3 - ... - t^n = t^{n + 1} - 1
t^{n + 1} - 1 = t^{n + 1} - 1

 

Zu Aufgabe 2 mache ich nur mal eine kleine Skizze. Da die Gerade durch 0 und 1 + z die Diagonale des Parallelogramms ist, welche das Parallelogramm in 2 kongruente Dreiecke teilt (sss) ist dieses zugleich die Winkelhalbierende.