Der Ursprung und P(u|f(u)) mit 0<u<1 sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. f(x):= -0.5e^ (ln(5)*x) + 2.5.

Question

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\ln (5) \cdot x}+\frac{5}{2}, x \in \mathbb{R} . \) Ihr Schaubild ist \( K_{f} \)

2.1 Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von \( K_{f} \).

Zeigen Sie, dass alle Tangenten an \( K_{f} \) eine negative Steigung haben.

Begründen Sie, dass \( K_{f} \) keine Wendepunkte besitzt.

Zeichnen Sie \( K_{f} \) in ein geeignetes Koordinatensystem.

2.2 Die Tangente an \( K_{f} \) an der Stelle \( x=1 \) schneidet die \( y \)-Achse im Punkt \( B(0 \mid b) \). Berechnen Sie den Wert für \( b \) exakt.

2.3 Der Ursprung und der Punkt \( P(u \mid f(u)) \) mit \( 0<u<1 \) sind die Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks.
Für welches \( u \) ist die Fläche des Rechtecks maximal?

Ansatz/Problem:

Die Lösung der Aufgabe 2.3 bereitet mir Schwierigkeiten.

Comments

Das sind Rechtecke mit der variablen Breite 0 < u < 1 und der davon abhängigen Höhe f(u). Die Ecken heißen (0|0), (u|0), (u|f(u)) und (0|f(u)) beim Ursprung beginnend linksherum aufgezählt. Gesucht sind die u, für die die Maßzahl der Rechteckfläche ihr absolutes Maximum annimmt.

Answer 1

Du hast zwei Ecken eines Rechtecks gegeben durch (0,0) und (u,f(u)). Außerdem weißt du dass die Seiten des Rechtecks parallel zur den Koordinatenachsen sind. Jetzt ist die Frage für welches u der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist.

Weil der erste Punkt des Rechtecks (0,0) ist ist die Länge der ersten Seite u und die Länge der zweiten Seite f(u), also kannst du den Flächeninhalt berechnen mit u*f(u). Wenn du jetzt wissen möchtest, wann der Flächeninhalt maximal ist, berechnest du die Ableitung davon und setzt diese =0. (Weil du so das Maximum von u*f(u) rausbekommst). Die Lösung u muss dann nur noch zwischen 0 und 1 liegen.

Ich hoffe ich konnte dir helfen

Comments

Ok...

soweit konnte ich dir Folgen trotzdem stehe ich nach wie vor auf dem Schlauch könnte Jemand die Rechnerische Lösung bitte einmal vormachen?

 

 besten dank...

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Ich hoffe ich verrechne mich jetzt nicht ;)

also du willst g(x)=x*(-0.5*exp(ln(5)x)+4.5) ableiten:

(Produktregel)
g'(x)=(-0.5*exp(ln(5)x)+4.5)+x*(-ln(5)*0.5*exp(ln(5)x))

und jetzt setzt du g'(x)=0

-0.5*exp(ln(5)x)+4.5-ln(5)*0.5*x*exp(ln(5)x)=0

-0.5*exp(ln(5)x)(1+ln(5)*x)=-4.5

exp(ln(5)x)(1+ln(5)*x)=9

jetzt wirds leider schwierig das nach x aufzulösen, da du die Omega-Funktion brauchst welche das Inverse von f(w)=w*exp(w) ist.

dann ist die Nullstelle:
w(5e)/log(5)-1/log(5)=0.586

(das hab ich mir jetzt ergooglt indem ich mir die Ableitung mit wolframalpha hab berechnen lassen.