x^5 + 3x^4 - 189x^3 + 797x^2 - 612x = 0

Question

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.

X^5 + 3 * X^4 - 189 * X^3 + 797 * X^2 - 612 * X  = 0

Nun sollen für X fünf Werte diese Gleichung erfüllen (0 ist auch ein Wert). Dies müssen alle einstellig sein.

Viel Dank für die Hilfe.

Comments

Hi, da stimmt etwas mit den Angaben nicht.
Die Nullstellenmenge ist {-17, 0, 1, 4, 9}.

Answer 1

Erster Schritt: X ausklammern,liefert eine Lösung und reduziert das Polynom auf ein ganzzahliges Polynom vom Grad 4 mit konstantem Term 612.

Zweiter Schritt: Hat ein ganzzahliges Polynom eine ganzzahlige Nullstelle, so teilt diese den konstanten Term.

Probiere also alle ganzzahligen Teiler von 612 durch bis sich eine Nullstelle findet.

Klammere den zur Nullstelle gehörenden Linearfaktor aus (z.B.per Polynomdivision), dann reduziert sich das Problem auf ein Polynomdritten Grades. Wiederhole Schritt 2.

Bei Grad 2 kann man alternativ auch die Mitternachtsformel verwenden.

Übrigens sind nicht alle Nullstellen einstellig. 

Comments

Warum sollte man außer dem Faktor x noch etwas anderes ausklammern? Man kann doch zunächst mal alle Teiler der 612, beginnend bei den kleinen, durchprobieren. So führen beispielsweise die Teiler { 1, 2, 3, 4, 6, 9 } bereits auf die Lösungen { 1, 4, 9 }. Nun ist 612/4/9 = 17 und -17 eine weitere Lösung. Zusammen mit der 0 sind dies die maximal möglichen fünf Lösungen { -17, 0, 1, 4, 9 }.

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Verschiedene Wege führen nach Rom.

Answer 2

In der Praxis kann man auch einen Plotter nützen.

Comments

X⁵ + 3 * X⁴ - 189 * X³ + 797 * X² - 612 * X

Die komplette Funktion läßt sich mit dem eingebauten Plotter
nicht plotten.

Answer 3

Dass man die in jedem Summand vorkommende Variable x sofort ausklammern kann, solltest Du sehen.

Da es also keine Offset-Verschiebung nach oben oder unten gibt, muss die Kurve durch den Koordinatenursprung gehen:

x1=0

Lehrer stellen immer nur leichte Spezialfallaufgaben, die man selbst mit "Probieren" kleiner Zahlen herausbekommen kann. Schon mit x=1 hat man eine weitere Lösung , die nach Polynomdivision und weiteres "Probieren" weiter gelöst werden kann...

Wie Gast jd130 so schön schreibt führen mehrere Wege nach Rom!

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php  

kann ohne Ausklammerung die Cardanische Formel (also unabhängig von leichten Spezialfallaufgaben)

oder nach Ausklammerung auch die exakte PQRSTUVW Formel für gleichungen 4. Grades.

Dort findet man auch den LINK zum Plotter, wo man die Nullstellen leicht überprüfen kann:

pow(x,5)+3*pow(x,4)-189*pow(x,3)+797*x*x-612*x ergibt:

ymin = -15000

ymax = 275000