Kreisteilungsgleichung lösen

Question

Ich soll eine Kreisteilungsgleichung lösen. Die Gleichung lautet : "z^4 + 16 = 0"

Ich habe so gerechnet:

$$ z\quad =\quad \sqrt [ 4 ]{ -16 } $$

$$z\quad =\quad \sqrt [ 4 ]{ 16 } *\quad i$$

$$z\quad =\quad 2i$$

stimmt das so?

Wenn das stimmt ist also z^8 + 1 = 0

auch : $$z\quad =\quad \sqrt [ 8 ]{ -1 } $$

$$z\quad =\quad \sqrt [ 8 ]{ 1 } * i $$ .....

THX

Comments

Du kannst die Gleichung auch mithilfe der \(pq\)-Formel sowie der Zerlegung$$z^4+16=(z^2+2\sqrt2\cdot z+4)\cdot(z^2-2\sqrt2\cdot z+4)$$lösen.

Answer 1

Die Lösung ist leider falsch.
Durch einfache Probe lässt sich erkennen, dass deine Lsg.$$ z=2i $$$$ z^4+16 = 32$$
Richtig wäre:
$$z=\pm2 \sqrt[4]{-1}$$$$z=\pm2 (-1)^\frac{3}{4}$$

Comments

Bei \(z^a +1 = 0\) folgt:
$$ z = \pm (-1)^{\frac{n}{a}} \text{wobei n ungerade} $$
Bei z.B. \( n = 3, a=6 \) folgt: $$ z = \pm i$$